\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
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\author{Didnelpsun}
\title{考研数学准备}
\date{}
\begin{document}
\renewcommand
\arraystretch{1.5}
% 表格高1.5倍
\maketitle
\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}
\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\newpage
\pagestyle{plain}
\setcounter{page}{1}
\section{函数的图像}
\subsection{直角坐标系图像}
\subsubsection{常见图像}
\paragraph{基本初等函数与初等函数} \leavevmode \medskip

基本初等函数包括：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

\subparagraph{常数函数} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.35\linewidth}
    $y=A$，$A$为常数，图像平行于$x$轴。
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[domain=-1:5]
        \draw[-latex](-1,0) -- (5,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-0.5) -- (0, 1.5) node[above]{$y$};
        \draw[black, thick](-1,1) -- (5,1) node[right]{$y=A$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \filldraw[black] (0,1) circle (2pt) node at(0.75,0.5){$(0,A)$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subparagraph{幂函数} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
    $y=x^{\mu}$，$\mu$为实数，当$x>0$，$y=x^{\mu}$都有定义：

    \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
        \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-2) -- (0,4) node[above]{$y$};
        \draw[black, thick, smooth, domain=0.3:2] plot (\x,1/\x) node[right]{$\mu =-1$};
        \draw[black, thick, smooth, domain=-2:-0.5] plot (\x,1/\x) node[right]{$\mu =-1$};
        \draw[black, thick, smooth, domain=0.01:2] plot (\x, {sqrt(\x)});
        \filldraw[black] (2.75,1.25) node {$\mu =\dfrac{1}{2}$};
        \draw[black, thick, smooth, domain=-2:2] plot (\x,\x) node[right]{$\mu =1$};
        \draw[black, thick, smooth, domain=-2:2] plot (\x, {\x*\x}) node[right]{$\mu =2$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \filldraw[black] (1,1) circle (2pt) node at(1.25,0.5){$(1,1)$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
    对于幂函数可以根据不同幂下相同单调性来研究最值：

    \begin{enumerate}
        \item $\sqrt{u}，\sqrt[3]{u}$可以使用$u$来研究。
        \item $\vert u\vert$可以使用$u^2$来研究。
        \item $\dfrac{1}{u},u>0$可以使用$u$来研究，但是最值相反。
        \item $u_1u_2...u_n$可以使用$\sum_{i=1}^{n}\ln u_i$来研究。
    \end{enumerate}
\end{minipage}

\subparagraph{指数函数} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
    $y=a^x(a>0,a\neq 1)$：

    \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
        \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$y$};
        \draw[black, thick, domain=-2:2] plot (\x,{pow(1/2,\x)}) node[right]{$0<a<1$};
        \draw[black, thick, domain=-2:2] plot (\x,{pow(2,\x)}) node[right]{$a>1$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
    指数函数具有如下性质：

    \begin{enumerate}
        \item 特殊函数值：$a^0=1$。
        \item 定义域：$(-\infty, +\infty)$，值域：$(0,+\infty)$。
        \item 单调性：$a>1$，$y=a^x$单调增，$0<a<1$，$y=a^x$单调减。
        \item 常用指数函数：$y=e^x$。
        \item 极限：$\lim\limits_{x\to -\infty}e^x=0$，$\lim\limits_{x\to +\infty}e^x=+\infty$。
    \end{enumerate}
\end{minipage}

\subparagraph{对数函数} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
    $y=log_ax(a>0,a\neq 1)$为$y=a^x$的反函数：

    常用公式：$x=e^{\ln x}$，$u^v=e^{\ln u^v}=e^{v\ln u}(x>0,u>0)$。
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
        \draw[-latex](-0.5,0) -- (4,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$};
        \draw[black, thick, domain=0.2:4] plot (\x,{ln(1/\x)}) node[right]{$0<a<1$};
        \draw[black, thick, domain=0.2:4] plot (\x,{ln(\x)}) node[right]{$a>1$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

对数函数具有如下性质：

\begin{enumerate}
    \item 特殊函数值：$\log_a1=0$，$log_aa=1,\ln 1=0,\ln e=1$。
    \item 定义域：$(0, +\infty)$，值域：$(-\infty,+\infty)$。
    \item 单调性：$a>1$，$y=\log_ax$单调增，$0<a<1$，$y=\log_ax$单调减。
    \item 常用对数函数：$y=\ln x$，$e=2.71828...$。
    \item 极限：$\lim\limits_{x\to 0^+}\log_a x=-\infty$，$\lim\limits_{x\to +\infty}\log_ax=+\infty$。
\end{enumerate}


\subparagraph{三角函数} \leavevmode \medskip

正弦函数：

\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
    \draw[-latex](-5,0) -- (5,0) node[below]{$x$};
    \draw[-latex](0,-1.5) -- (0,2) node[above]{$y$};
    \draw[black, thick, smooth, domain=-5:5] plot (\x,{sin(\x r)}) node at (0,1.5){$\sin(x)$};
    \draw[black, densely dashed](-5,1) -- (5,1) node[right]{$x=1$};
    \draw[black, densely dashed](-5,-1) -- (5,-1) node[right]{$x=-1$};
    \draw[black, densely dashed](-pi/2*3,1) -- (-pi/2*3,0) node[below]{$-\dfrac{3\pi}{2}$};
    \draw[black, densely dashed](-pi/2,-1) -- (-pi/2,0) node[above]{$-\dfrac{\pi}{2}$};
    \draw[black, densely dashed](pi/2,1) -- (pi/2,0) node[below]{$\dfrac{\pi}{2}$};
    \draw[black](0,0) -- (0,0) node[above]{$O$};
    \filldraw[black] (-pi-0.1,0) node[below]{$-\pi$};
    \filldraw[black] (pi,0) node[below]{$\pi$};
\end{tikzpicture}

余弦函数：

\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
    \draw[-latex](-5,0) -- (5,0) node[below]{$x$};
    \draw[-latex](0,-1.5) -- (0,2) node[above]{$y$};
    \draw[black, thick, smooth, domain=-5:5] plot (\x,{cos(\x r)}) node at (0,1.5){$\cos(x)$};
    \draw[black, densely dashed](-5,1) -- (5,1) node[right]{$x=1$};
    \draw[black, densely dashed](-5,-1) -- (5,-1) node[right]{$x=-1$};
    \draw[black, densely dashed](-pi,-1) -- (-pi,0) node[above]{$-\pi$};
    \draw[black, densely dashed](pi,-1) -- (pi,0) node[above]{$\pi$};
    \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
    \filldraw[black] (-pi/2*3-0.25,0) node[below]{$-\dfrac{3\pi}{2}$};
    \filldraw[black] (-pi/2,0) node[below]{$-\dfrac{\pi}{2}$};
    \filldraw[black] (pi/2,0) node[below]{$\dfrac{\pi}{2}$};
\end{tikzpicture}

弦函数有如下特征：

\begin{enumerate}
    \item 特殊函数值：$\sin 0=0$，$\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$，$\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\dfrac{\pi}{2}=1$，$\sin\pi=0$，$\sin\dfrac{3\pi}{2}=-1$，$\sin 2\pi=0$，$\cos 0=1$，$\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$，$\cos\dfrac{\pi}{2}=0$，$\cos\pi=-1$，$\cos\dfrac{3\pi}{2}=0$，$\cos 2\pi=1$。
    \item 定义域：$(-\infty, +\infty)$，值域：$[-1,+1]$。
    \item 奇偶性：$y=\sin x$为奇函数，$y=\cos x$为偶函数。
    \item 周期性：最小正周期为$2\pi$。
    \item 有界性：$\vert\sin x\vert\leqslant 1$，$\vert\cos x\vert\leqslant 1$。
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
    正切函数：

    \begin{tikzpicture}[scale=0.55]
        \draw[-latex](-6,0) -- (6,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$};
        \draw[black, thick, domain=-pi/2+0.5:pi/2-0.5] plot (\x,{tan(\x r)}) node[above]{$\tan(x)$};
        \draw[black, densely dashed](pi/2,2) -- (pi/2,-2);
        \draw[black, densely dashed](-pi/2,2) -- (-pi/2,-2);
        \draw[black, thick, domain=-pi/2*3+0.5:-pi/2-0.5] plot (\x,{tan(\x r)}) node[above]{$\tan(x)$};
        \draw[black, densely dashed](pi/2*3,2) -- (pi/2*3,-2);
        \draw[black, thick, domain=pi/2+0.5:pi/2*3-0.5] plot (\x,{tan(\x r)}) node[above]{$\tan(x)$};
        \draw[black, densely dashed](-pi/2*3,2) -- (-pi/2*3,-2);
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \filldraw[black] (pi/2+0.5,-0.75) node{$\dfrac{\pi}{2}$};
        \filldraw[black] (-pi/2-0.75,-0.75) node{$-\dfrac{\pi}{2}$};
        \filldraw[black] (pi/2*3+0.5,-0.75) node{$\dfrac{3\pi}{2}$};
        \filldraw[black] (-pi/2*3-0.75,-0.75) node{$-\dfrac{3\pi}{2}$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
    余切函数：

    \begin{tikzpicture}[scale=0.65]
        \draw[-latex](-4,0) -- (4,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$};
        \draw[black, thick, domain=0.5:pi-0.5] plot (\x,{cot(\x r)}) node at(pi-1,2){$\cot(x)$};
        \draw[black, densely dashed](pi,2) -- (pi,-2);
        \draw[black, thick, domain=-0.5:-pi+0.5] plot (\x,{cot(\x r)}) node at(-1,2){$\cot(x)$};
        \draw[black, densely dashed](-pi,2) -- (-pi,-2);
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \filldraw[black] (pi/2,0) node[below]{$\dfrac{\pi}{2}$};
        \filldraw[black] (pi+0.5,-0.5) node{$\pi$};
        \filldraw[black] (-pi/2-0.25,0) node[below]{$-\dfrac{\pi}{2}$};
        \filldraw[black] (-pi-0.5,-0.5) node{$-\pi$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

切函数有如下特征：

\begin{enumerate}
    \item 特殊函数值：$\tan 0=0$，$\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan\frac{\pi}{4}=1$，$\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$，$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\tan x=\infty$，$\tan\pi=0$，$\lim\limits_{x\to\frac{3\pi}{2}}\tan x=\infty$，$\tan 2\pi=0$，$\lim\limits_{x\to 0}\cot x=\infty$，$\cot\dfrac{\pi}{6}=\sqrt{3}$，$\cot\dfrac{\pi}{4}=1$，$\cot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\cot\dfrac{\pi}{2}=0$，$\lim\limits_{x\to\pi}\cot x=\infty$，$\cot\dfrac{3\pi}{2}=0$，$\lim\limits_{x\to 2\pi}\cot x=\infty$。
    \item 定义域：$\tan x:x\neq k\pi+\dfrac{\pi}{2}(k\in Z)$，$\cot x:x\neq k\pi(k\in Z)$，值域：$(-\infty,+\infty)$。
    \item 奇偶性：定义域内均为奇函数。
    \item 周期性：最小正周期为$\pi$。
\end{enumerate}

$\sec x=\dfrac{1}{\cos x},\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$：

正割函数：

\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
    \draw[-latex](-6,0) -- (6,0) node[below]{$x$};
    \draw[-latex](0,-3) -- (0,3) node[above]{$y$};
    \draw[black, thick, domain=-pi/2+0.4:pi/2-0.4] plot (\x,{sec(\x r)}) node[above]{$\sec(x)$};
    \draw[black, thick, domain=-pi/2*3+0.4:-pi/2-0.4] plot (\x,{sec(\x r)}) node[below]{$\sec(x)$};
    \draw[black, thick, domain=pi/2+0.4:pi/2*3-0.4] plot (\x,{sec(\x r)}) node[below]{$\sec(x)$};
    \draw[black, thick, domain=-pi*2:-pi/2*3-0.4] plot (\x,{sec(\x r)}) node[above]{$\sec(x)$};
    \draw[black, thick, domain=pi/2*3+0.4:pi*2] plot (\x,{sec(\x r)}) node at (pi*2,3){$\sec(x)$};
    \draw[black, densely dashed](-6,1) -- (6,1);
    \draw[black, densely dashed](-6,-1) -- (6,-1);
    \draw[black, densely dashed](-pi/2*3,3) -- (-pi/2*3,-3);
    \draw[black, densely dashed](-pi/2,3) -- (-pi/2,-3);
    \draw[black, densely dashed](pi/2,3) -- (pi/2,-3);
    \draw[black, densely dashed](pi/2*3,3) -- (pi/2*3,-3);
    \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
    \filldraw[black] (0.5,0.5) node{$1$};
    \filldraw[black] (0.5,-1.5) node{$-1$};
    \filldraw[black] (-pi/2*3-0.75,-0.5) node{$-\dfrac{3\pi}{2}$};
    \filldraw[black] (-pi/2-0.75,-0.5) node{$-\dfrac{\pi}{2}$};
    \filldraw[black] (pi/2+0.5,-0.5) node{$\dfrac{\pi}{2}$};
    \filldraw[black] (pi/2*3+0.5,-0.5) node{$\dfrac{3\pi}{2}$};
\end{tikzpicture}

余割函数：

\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
    \draw[-latex](-7,0) -- (7,0) node[below]{$x$};
    \draw[-latex](0,-3) -- (0,3) node[above]{$y$};
    \draw[black, thick, domain=0.4:pi-0.4] plot (\x,{1/sin(\x r)}) node[above]{$\csc(x)$};
    \draw[black, thick, domain=pi+0.4:pi*2-0.4] plot (\x,{1/sin(\x r)}) node[below]{$\csc(x)$};
    \draw[black, thick, domain=-pi+0.4:-0.4] plot (\x,{1/sin(\x r)}) node[below]{$\csc(x)$};
    \draw[black, thick, domain=-pi*2+0.4:-pi-0.4] plot (\x,{1/sin(\x r)}) node[above]{$\csc(x)$};
    \draw[black, densely dashed](-7,1) -- (7,1);
    \draw[black, densely dashed](-7,-1) -- (7,-1);
    \draw[black, densely dashed](-pi,3) -- (-pi,-3);
    \draw[black, densely dashed](-pi*2,3) -- (-pi*2,-3);
    \draw[black, densely dashed](pi,3) -- (pi,-3);
    \draw[black, densely dashed](pi*2,3) -- (pi*2,-3);
    \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
    \filldraw[black] (0.5,0.5) node{$1$};
    \filldraw[black] (0.5,-1.5) node{$-1$};
    \filldraw[black] (-pi-0.5,-0.5) node{$\pi$};
    \filldraw[black] (-pi*2+0.5,-0.5) node{$2\pi$};
    \filldraw[black] (pi+0.5,-0.5) node{$\pi$};
    \filldraw[black] (pi*2-0.5,-0.5) node{$2\pi$};
\end{tikzpicture}

割函数有如下特征：

\begin{enumerate}
    \item 定义域：$\sec x:x\neq k\pi+\dfrac{\pi}{2}(k\in Z)$，$\csc x:x\neq k\pi(k\in Z)$，值域：$(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)$。
    \item 奇偶性：$y=\sec x$为偶函数，$y=\csc x$为奇函数。
    \item 周期性：最小正周期为$2\pi$。
\end{enumerate}

\subparagraph{反三角函数} \leavevmode \medskip

类似是三角函数的反函数，但是由于是个多值函数所以不是严格的函数。所以为了限制反三角函数为单值函数，将反三角函数的值限定在一个区间内，将其作为反三角函数的主值。

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
    反正弦函数：

    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex](-1.5,0) -- (1.5,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$};
        \draw[black, thick, domain=-1:1] plot (\x,{rad(asin(\x))}) node[right]{$\arcsin(x)$};
        \draw[black, densely dashed](1,pi/2) -- (0,pi/2) node[left]{$\dfrac{\pi}{2}$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \draw[black, densely dashed](1,pi/2) -- (1,0) node[below]{$1$};
        \draw[black, densely dashed](-1,-pi/2) -- (0,-pi/2) node[right]{$-\dfrac{\pi}{2}$};
        \draw[black, densely dashed](-1,-pi/2) -- (-1,0) node[above]{$-1$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
    反余弦函数：

    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex](-1.5,0) -- (1.5,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$y$};
        \draw[black, thick, domain=-1:1] plot (\x,{rad(acos(\x)}) node at (-2, pi){$\arccos(x)$};
        \filldraw[black] (0,pi/2+0.5) node[right]{$\dfrac{\pi}{2}$};
        \draw[black](1,0) -- (1,0) node[below]{$1$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \draw[black, densely dashed](-1,pi) -- (0,pi) node[right]{$\pi$};
        \draw[black, densely dashed](-1,pi) -- (-1,0) node[below]{$-1$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

反弦函数有如下特征：

\begin{enumerate}
    \item 特殊函数值：$\arcsin 0=0$，$\arcsin\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{6}$，$\arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi}{4}$，$\arcsin\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{3}$，$\arcsin 1=\dfrac{\pi}{2}$，$\arccos 1=0$，$\arccos\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{6}$，$\arccos\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi}{4}$，$\arccos\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{3}$，$\arccos 0=\dfrac{\pi}{2}$。
    \item 定义域：$(-1, +1)$，值域：$\arcsin x:[-\dfrac{\pi}{2},+\dfrac{\pi}{2}]$，$\arccos x:[0,\pi]$。
    \item 单调性：$y=\arcsin x$单调增，$y=\arccos x$单调减。
    \item 奇偶性：$y=\arcsin x$为奇函数。
    \item 有界性：$\vert\arcsin x\vert\leqslant\dfrac{\pi}{2}$，$0\leqslant\arccos x\leqslant\pi$。
    \item 性质：$\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}(-1\leqslant x\leqslant 1)$
\end{enumerate}

对反弦函数性质进行证明：

令$f(x)=\arcsin x+\arccos x$，对其求导得：$f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{1}{1-x^2}=0$，所以$f(x)$是个常数函数。

又$f(0)=\dfrac{\pi}{2}$，所以该函数等于$\dfrac{\pi}{2}$。

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
    反正切函数：

    \begin{tikzpicture}[scale=0.75]
        \draw[-latex](-3,0) -- (3,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$};
        \draw[black, thick, domain=-3:3] plot (\x,{rad(atan(\x))}) node[right]{$\arctan(x)$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \draw[black, densely dashed](-3,pi/2) -- (3,pi/2);
        \draw[black, densely dashed](-3,-pi/2) -- (3,-pi/2);
        \filldraw[black] (0.5,pi/2-0.5) node{$\dfrac{\pi}{2}$};
        \filldraw[black] (0.5,-pi/2-0.5) node{$-\dfrac{\pi}{2}$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
    反余切函数：

    \begin{tikzpicture}[scale=0.75]
        \draw[-latex](-3,0) -- (3,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$y$};
        \draw[black, thick, domain=-3:3] plot (\x,{pi/2-rad(atan(\x))}) node[right]{$\textrm{arccot}(x)$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \draw[black, densely dashed](-3,pi) -- (3,pi);
        \filldraw[black] (-0.5,pi/2-0.5) node{$\dfrac{\pi}{2}$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

反切函数有如下特征：

\begin{enumerate}
    \item 特殊函数值：$\arctan 0=0$，$\arctan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}=$，$\arctan 1=\dfrac{\pi}{4}$，$\arctan\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{3}$，$\textrm{arccot}\,0=\dfrac{\pi}{2}$，$\textrm{arccot}\,\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{6}$，$\textrm{arccot}\,1=\dfrac{\pi}{4}$，$\textrm{arccot}\,\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\pi}{3}$。
    \item 定义域：$(-\infty, +\infty)$，值域：$\arctan x:\left[-\dfrac{\pi}{2},+\dfrac{\pi}{2}\right]$，$\textrm{arccot}\,x:[0,\pi]$。
    \item 单调性：$y=\arctan x$单调增，$y=\textrm{arccot}\,x$单调减。
    \item 奇偶性：$y=\arctan x$为奇函数。
    \item 有界性：$\vert\arctan x\vert\leqslant\dfrac{\pi}{2}$，$0\leqslant\textrm{arccot}\,x\leqslant\pi$。
    \item 性质：$\arctan x+\textrm{arccot}\,x=\dfrac{\pi}{2}(-\infty<x<+\infty)$；$\arctan x=\textrm{arccot}\,x\dfrac{1}{x}=\dfrac{\pi}{2}-\arctan x$。
\end{enumerate}

\subparagraph{初等函数} \leavevmode \medskip

由基本初等函数经过有限次四则运算与符合步骤且可以被一个式子所表示。

幂指函数$u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$也是初等函数。

\paragraph{分段函数} \leavevmode \medskip

x的不同范围对应不同的法则，经典形式如下：

\begin{equation}\notag
    f(x)=\left\{ \begin{array}{lcl}
        \psi_1(x), &  & x>x_0 \\
        a,         &  & x=x_0 \\
        \psi_2(x), &  & x<x_0
    \end{array}
    \right.
    \text{或}f(x)=\left\{ \begin{array}{clc}
        \psi(x), &  & x\neq x_0 \\
        a,       &  & x=x_0
    \end{array}
    \right.
\end{equation}

\subparagraph{绝对值函数} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
    $
    y=\vert x\vert=\left\{
    \begin{array}{lcl}
        x,  &  & x\geqslant 0 \\
        -x, &  & x<0
    \end{array}
    \right.
    $
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,2.5) node[above]{$y$};
        \draw[black, thick, domain=0:2] plot (\x,\x);
        \draw[black, thick, domain=-2:0] plot (\x,-\x);
        \filldraw[black] (0.5,1.5) node{$\vert x\vert$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subparagraph{符号函数} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
    $
    y=\textrm{sgn}\,x=\left\{
    \begin{array}{lcl}
        1,  &  & x>0 \\
        0,  &  & x=0 \\
        -1, &  & x<0
    \end{array}
    \right.
    $
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-1.5) -- (0,1.5) node[above]{$y$};
        \draw[black, thick, domain=0:2] plot (\x,1);
        \draw[black, thick, domain=-2:0] plot (\x,-1);
        \filldraw[black] (-1.5,1) node{$\textrm{sgn}\,x$};
        \filldraw[black] circle (2pt) (0,0) node[below]{$O$};
        \filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (0,1) circle (2pt);
        \filldraw[black] (0,1) node[left]{$1$};
        \filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (0,-1) circle (2pt);
        \filldraw[black] (0,-1) node[right]{$-1$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subparagraph{取整函数} \leavevmode \medskip

$x$为实数，不超过$x$的最大整数称为其整数部分$[x]$，其定义域为$R$，值域为$Z$。

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
    \begin{enumerate}
        \item $x-1<[x]\leqslant x$。
        \item $\lim\limits_{x\to 0^+}[x]=0$。
        \item $\lim\limits_{x\to 0^-}[x]=-1$。
    \end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
        \draw[-latex](-3.5,0) -- (4.5,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-3.5) -- (0,3.5) node[above]{$y$};
        \draw[black, thick, domain=1:2] plot (\x,1);
        \draw[black, thick, domain=2:3] plot (\x,2);
        \draw[black, thick, domain=3:4] plot (\x,3);
        \draw[black, thick, domain=-1:0] plot (\x,-1);
        \draw[black, thick, domain=-2:-1] plot (\x,-2);
        \draw[black, thick, domain=-3:-2] plot (\x,-3);
        \filldraw[black] (-2,2) node{$[x]$};
        \filldraw[black] circle (2pt) (0,0) node[below]{$O$};
        \foreach \x in {-2,...,4}
        \filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (\x,\x-1) circle (2pt);
        \foreach \x in {3,...,-3}
        \filldraw[black] (\x,\x) circle (2pt);
        \foreach \x/\xtext in {-3,...,-1}
        \filldraw[black] (\x,0) node[below]{\xtext} -- ++(0, 3pt);
        \foreach \x/\xtext in {1,...,4}
        \filldraw[black] (\x,0) node[below]{\xtext} -- ++(0, 3pt);
        \foreach \x/\xtext in {1,...,3}
        \filldraw[black] (0,\x) node[left]{\xtext} -- +(3pt, 0);
        \foreach \x/\xtext in {-3,...,-1}
        \filldraw[black] (0,\x) node[right]{\xtext} -- +(3pt, 0);
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subsubsection{图像变换}
\paragraph{平移变换}
\subparagraph{左右平移} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.35\linewidth}
    $f(x)$沿$x$轴左移$x_0$个单位长度得到$f(x+x_0)$，向右移动$x_0$个单位则得到$f(x-x_0)$：
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
        \draw[-latex](-4,0) -- (4,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \draw[black, thick, domain=-1.5:1.5] plot (\x,-\x*\x+1);
        \filldraw[black] (0,1.5) node{$-x^2+1$};
        \draw[black, thick, domain=0.5:3.5] plot (\x,{-pow((\x-2),2)+1});
        \filldraw[black] (2.5,1.5) node{$-(x-2)^2+1$};
        \draw[black, thick, domain=-3.5:-0.5] plot (\x,{-pow((\x+2),2)+1});
        \filldraw[black] (-2.5,1.5) node{$-(x+2)^2+1$};
        \filldraw[black] (1,0.5) node{$\rightarrow$};
        \filldraw[black] (-1,0.5) node{$\leftarrow$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subparagraph{上下平移} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
    $f(x)$沿$y$轴上移$y_0$个单位长度得到$f(x)+y_0$，向下移动$y_0$个单位则得到$f(x)-y_0$：
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
        \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-4) -- (0,4) node[above]{$y$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \draw[black, thick, domain=-1.5:1.5] plot (\x,-\x*\x+1);
        \filldraw[black] (0,-0.75) node{$-x^2+1$};
        \draw[black, thick, domain=-1.5:1.5] plot (\x,{-\x*\x+3});
        \filldraw[black] (0,1.5) node{$-x^2+3$};
        \draw[black, thick, domain=-1.5:1.5] plot (\x,{-\x*\x+-1});
        \filldraw[black] (0,-2.5) node{$-x^2-1$};
        \filldraw[black] (-2,2.5) node{$\uparrow $};
        \filldraw[black] (-2,-2.5) node{$\downarrow $};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\paragraph{对称变换}
\subparagraph{上下对称} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
    将$f(x)$关于$x$轴对称得到$-f(x)$：
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \draw[black, thick, domain=-1.5:1.5] plot (\x,-\x*\x+1);
        \filldraw[black] (0,1.5) node{$-x^2+1$};
        \draw[black, thick, domain=-1.5:1.5] plot (\x,\x*\x-1);
        \filldraw[black] (0,-1.5) node{$x^2-1$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subparagraph{左右对称} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
    将$f(x)$关于$y$轴对称得到\\$f(-x)$：
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
        \draw[-latex](-4,0) -- (4,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \draw[black, thick, domain=0.25:3.5] plot (\x,{ln(\x)});
        \filldraw[black] (1.5,1.5) node{$\ln x$};
        \draw[black, thick, domain=-0.25:-3.5] plot (\x,{ln(-\x)});
        \filldraw[black] (-1.5,1.5) node{$\ln -x$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subparagraph{原点对称} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
    将$f(x)$关于$x$轴$y$轴即关于原点对称得到$-f(-x)$：
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
        \draw[-latex](-4,0) -- (4,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \draw[black, thick, domain=0.25:3.5] plot (\x,{ln(\x)});
        \filldraw[black] (1.5,1.5) node{$\ln x$};
        \draw[black, thick, domain=-0.25:-3.5] plot (\x,{-ln(-\x)});
        \filldraw[black] (-1.5,-1.5) node{$-\ln -x$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subparagraph{反函数对称} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
    将$f(x)$关于$y=x$轴对称得到$f^{-1}(x)$：
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
        \draw[-latex](-2,0) -- (e,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-2) -- (0,e) node[above]{$y$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \draw[black, thick, domain=0.25:e] plot (\x,{ln(\x)});
        \filldraw[black] (1.5,-1.5) node{$\ln x$};
        \draw[black, thick, domain=-1:1] plot (\x,{exp(\x)});
        \filldraw[black] (-1.5,1.5) node{$e^x$};
        \draw[black, densely dashed] (-2,-2) -- (e-0.5,e-0.5) node[above]{$y=x$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subparagraph{函数绝对值} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
    保留$f(x)$函数值在$[0,\infty]$的部分，并对$[-\infty,0]$部分进行上下对称：
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \draw[black, thick, domain=1:1.5] plot (\x,\x*\x-1);
        \draw[black, thick, densely dashed, domain=-1:1] plot (\x,\x*\x-1);
        \draw[black, thick, domain=-1:1] plot (\x,-\x*\x+1);
        \draw[black, thick, domain=-1.5:-1] plot (\x,\x*\x-1);
        \filldraw[black] (0,1.5) node{$\vert x^2-1\vert$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subparagraph{自变量绝对值} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
    先只保留$f(x)$定义域在$[0,\infty]$的部分，然后在$[-\infty,0]$部分使用$[0,\infty]$的部分进行左右对称：
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-1) -- (0,3) node[above]{$y$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \draw[black, thick, domain=0:1.25] plot (\x,{-pow(\x,3)+1});
        \draw[black, thick, densely dashed, domain=-1.25:0] plot (\x,{-pow(\x,3)+1});
        \draw[black, thick, domain=-1.25:0] plot (\x,{-pow(-\x,3)+1});
        \filldraw[black] (1,2) node{$-\vert x\vert^3+1$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\paragraph{伸缩变换}
\subparagraph{水平伸缩} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.35\linewidth}
    纵坐标不变，当$k>1$时，$y=f(kx)$是$y=f(x)$缩短k倍得到，当$0<k<1$时，$y=f(kx)$是$y=f(x)$伸长k倍得到：
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.625]
        \draw[-latex](-5,0) -- (5,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-1.5) -- (0,1.5) node[above]{$y$};
        \draw[black, thick, smooth, domain=-5:5] plot (\x,{sin(\x r)}) node[right]{$\sin(x)$};
        \draw[blue, thick, smooth, domain=-5:5] plot (\x,{sin(\x/2 r)}) node[right]{$\sin(\dfrac{x}{2})$};
        \draw[brown, thick, smooth, domain=-5:5] plot (\x,{sin(\x*2 r)}) node[right]{$\sin(2x)$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subparagraph{垂直伸缩} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.35\linewidth}
    横坐标不变，$y=kf(x)$的对应纵坐标为$y=f(x)$对应纵坐标的$k$倍。
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.65]
        \draw[-latex](-5,0) -- (5,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-1.5) -- (0,1.5) node[above]{$y$};
        \draw[black, thick, smooth, domain=-5:5] plot (\x,{sin(\x r)}) node[right]{$\sin(x)$};
        \draw[blue, thick, smooth, domain=-5:5] plot (\x,{sin(\x r)/2}) node at(5.5,1){$\dfrac{sin(x)}{2}$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subsection{极坐标系图像}
\subsubsection{极坐标系}

\paragraph{极坐标定义} \leavevmode \medskip

\begin{itemize}
    \item 极点：平面内的一个定点$O$。
    \item 极轴：自极点引出的射线$Ox$。
    \item 极坐标系：选定长度单位、角度单位与正方向（通常为逆时针）建立的坐标系。
    \item 极径：设$M$为屏幕一点，极点$O$与$M$的距离$\vert OM\vert$，记为$\rho$。
    \item 极角：以极轴$Ox$为始边，射线$OM$为终边的角$xOM$为$M$的极角，记为$\theta$。
    \item 极坐标：有序数对$\rho$、$\theta$为$M$的极坐标，记为$M(\rho,\theta)$。
\end{itemize}

\paragraph{极坐标系转换} \leavevmode \medskip

设$M$为平面一点，直角坐标为$(x,y)$，极坐标$(\rho,\theta)$，其关系是：\medskip

$\left\{\begin{array}{l}
    x=\rho\cos\theta \\
    y=\rho\sin\theta
\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}
    \rho^2=x^2+y^2 \\
    \tan\theta=\dfrac{y}{x}(x\neq0)
\end{array}\right.$\medskip

\paragraph{常用极坐标方程} \leavevmode \medskip

直线的极坐标方程：

\begin{itemize}
    \item 从极点$O$发出的一条射线：$\tan\theta=k$（由于$k$不知道符号所以不能直接转换为反三角函数）。
    \item 过点$(a,0)$且垂直于极轴的直线的极坐标方程：$\rho=a\sec\theta=\dfrac{a}{\cos\theta}$。
    \item 过点$\left(a,\dfrac{\pi}{2}\right)$且平行于极轴的直线的极坐标方程：$\rho=a\csc\theta=\dfrac{a}{\sin\theta}$。
\end{itemize}

圆的极坐标方程：

\begin{itemize}
    \item 圆心为极点，半径为$r$的圆的极坐标方程：$\rho=r$。
    \item 圆心$O'(r,0)$，半径为$r$的圆的极坐标方程：$\rho=2r\cos\theta$。
    \item 圆心$O'\left(r,\dfrac{\pi}{2}\right)$，半径为$r$的圆的极坐标方程：$\rho=2r\sin\theta$。
    % \item 圆心$O'(\rho_0,0)$，半径为$r$的圆的极坐标方程：
\end{itemize}

抛物线的极坐标方程：

\begin{itemize}
    \item $y=ax^2$的极坐标方程：$\rho=\dfrac{1}{a}\tan\theta\sec\theta$。
    \item $y^2=ax$的极坐标方程：$\rho=a\cot\theta\csc\theta$。
\end{itemize}

\subsubsection{描点法}
\paragraph{心形线（外摆线）} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
    心形线又称为心脏线，表示是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹。

    表达式：水平为$r=a(1\pm\cos\theta)$，垂直为$r=a(1\pm\sin\theta)$。一般为$r=a(1-\cos\theta)$即为下图所示，如果里面的符号为＋则心尖开口向左。

    其中$r$为线的极径，$\theta$为极角，$a$为形状参数且$a>0$，周期为$2\pi$。
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
        \draw[-latex](-5,0) -- (1,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-3) -- (0,3) node[above]{$y$};
        \draw[black, thick, domain=0:360,smooth,variable=\t, samples=300] plot ({\t}:{2*(1-cos(\t))});
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \draw (-1,0) circle [radius=1];
        \draw (-3,0) circle [radius=1];
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

在直角坐标系下表达式：$x^2+y^2+a\cdot x=a\cdot\sqrt{x^2+y^2}$和$x^2+y^2-a\cdot x=a\cdot\sqrt{x^2+y^2}$。

参数方程：$x=a\cdot(2\cdot\cos(t)-cos(2\cdot t))$与$y=a\cdot(2\cdot\sin(t)-sin(2\cdot t))$。

水平心形线对应参数： \leavevmode \medskip

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    $\theta$ & $0$ & $\dfrac{\pi}{6}$         & $\dfrac{\pi}{4}$         & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\dfrac{2\pi}{3}$ & $\dfrac{3\pi}{4}$        & $\dfrac{5\pi}{6}$        & $\pi$ \\ \hline
    $r$      & $0$ & $\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}a$ & $\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}a$ & $\dfrac{1}{2}a$  & $a$             & $\dfrac{3}{2}a$   & $\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}a$ & $\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}a$ & $2a$  \\
    \hline
\end{tabular}

\paragraph{玫瑰线} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
    表达式：$r=a\sin(n\theta)$，周期为$\dfrac{2\pi}{n}$。

    当$n$为3时为三叶，2时为四叶，$\dfrac{3}{2}$为六叶。三叶时周期为$\dfrac{2\pi}{3}$。

    直角坐标系下表达式：$x=a\cdot\sin(n\cdot\theta)\cdot\cos(\theta)$与$y=a\cdot\sin(n\cdot)\cdot\sin(\theta)$
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
        \draw[-latex](-3,0) -- (3,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-pi) -- (0,pi/2) node[above]{$y$};
        \draw[domain=0:180,samples=100] plot (\x:{3*sin(\x*3)});
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

三叶玫瑰线对应参数： \leavevmode \medskip

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    $\theta$ & $0$ & $\dfrac{\pi}{12}$      & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$       & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{5\pi}{12}$     & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\dfrac{7\pi}{12}$     & $\dfrac{3\pi}{2}$ \\ \hline
    $r$      & $0$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$ & $a$             & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$ & $0$             & $-frac{\sqrt{2}}{2}a$ & $-a$            & $-frac{\sqrt{2}}{2}a$ & $0$              \\
    \hline
\end{tabular}

\paragraph{阿基米德螺线} \leavevmode \medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
    表达式：$r=a\theta$，其中$a>0$，$\theta\geqslant 0$由0开始增大时$r$也在不断增大。
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.2]
        \draw[-latex](-10,0) -- (15,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-15) -- (0,10) node[above]{$y$};
        \draw[domain=0:720,samples=100] plot (\x:{rad(\x)});
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\paragraph{伯努利双扭线} \leavevmode \medskip

设定线段$F_1F_2$长度为$2a$，伯努利双扭线上所有点M满足$MF_1\cdot MF_2=a^2$。

表达式：$r^2=2a^2\cos 2\theta$或$r^2=2a^2\sin 2\theta$。

直角坐标系下表达式：$(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)$。

\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
    \draw[-latex](-1.25,0) -- (1.25,0) node[below]{$x$};
    \draw[-latex](0,-1) -- (0,1) node[above]{$y$};
    \draw[domain=-45:45,samples=100] plot (\x:{sqrt(cos(\x*2))});
    \draw[domain=-45:45,samples=100] plot (\x:{-sqrt(cos(\x*2))});
    \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
    \filldraw[black] (0,-1) node{$r^2=2a^2\cos 2\theta$};
\end{tikzpicture}
\hspace{2.5em}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
    \draw[-latex](-1.25,0) -- (1.25,0) node[below]{$x$};
    \draw[-latex](0,-1) -- (0,1) node[above]{$y$};
    \draw[domain=0:90,samples=100] plot (\x:{sqrt(sin(\x*2))});
    \draw[domain=0:90,samples=100] plot (\x:{-sqrt(sin(\x*2))});
    \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
    \filldraw[black] (0,-1) node{$r^2=2a^2\sin 2\theta$};
\end{tikzpicture}

\subsubsection{直角坐标系下画极坐标图像}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
    令$\theta$为$x$，令$r$为$y$。如心形线$r=2(1-\cos\theta)$：

    按直角坐标系的图就可以计算出对应的$r$从而能画出对应的图像。
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
        \draw[-latex](-5,0) -- (5,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,5) node[above]{$y$};
        \draw[black, thick, smooth, domain=-5:5] plot (\x,{2*(1-cos(\x r))}) node at (0,4){$2(1-\cos(\theta))$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subsection{参数法}

如果很难使用直角坐标或极坐标来表示曲线，那么可以引入一个新的变量参数来表示，即得到参数方程：$
    \left\{
    \begin{array}{lcl}
        x=x(t) \\
        y=y(t)
    \end{array}
    \right.
$

\subsubsection{摆线（平摆线）}

摆线，又称旋轮线、圆滚线，是一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。

令圆半径为$r$，摆点与圆心所成直线所转动夹角对应弧度为$t$，其中$t\in[0,2\pi]$，所对应参数方程为：$
    \left\{
    \begin{array}{lcl}
        x=r(t-\sin t) \\
        y=r(1-\cos t)
    \end{array}
    \right.
$

\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
    \draw[-latex](-1.5,0) -- (5,0) node[below]{$x$};
    \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,2) node[above]{$y$};
    \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
    \draw[black,scale=0.35, domain=-1.7:2*4.0, smooth, variable=\t ]
    plot ( {2*(\t-sin(\t r))}, {2*(1-cos(\t r))});
    \draw (0.7,0.7) circle [radius=0.7];
    \draw[black](0.7,0) -- (0.7,1.4);
    \draw[black, densely dashed](2.25,0) -- (2.25,1.4);
    \filldraw[black] (2.5,0.625) node{$2a$};
\end{tikzpicture}

\subsubsection{星形线（内摆线）}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
    与半径为$r$的定圆内切的半径为$\dfrac{r}{4}$的动圆沿定圆无滑动地滚动，动圆上一点的轨迹称为星形线。

    令$t$表示摆点与圆心的连线所构成夹角的弧度，其中$t\in[0,2\pi]$，得对应参数方程：$
    \left\{
    \begin{array}{lcl}
        x=r\cos^3t \\
        y=r\sin^3t
    \end{array}
    \right.
    $

    由$\cos^2t+\sin^2t=1$得到直角坐标方程：$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=r^{\frac{2}{3}}$。
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[scale=2]
        \draw[-latex](-1.25,0) -- (1.25,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-1.25) -- (0,1.25) node[above]{$y$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \draw[black,scale=1, domain=-1.7:2*4.0, smooth, variable=\t ]
        plot ( {(pow(cos(\t r),3))}, {(pow(sin(\t r),3))});
        \filldraw[black] (-0.25,0.125) node{$a$};
        \draw (0,0) circle [radius=1];
        \draw (0.75,0) circle [radius=0.25];
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\section{常用基础知识}
\subsection{数列}
\subsubsection{等差数列}

首项为$a_1$，公差为$d(d\neq 0)$的数列：$a_1,a_1+d,a_1+2d\cdots a_1+(n-1)d$。

通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$。

前$n$项和：$S_n=\dfrac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$

\subsubsection{等比数列}

首项为$a_1$，公比为$q(q\neq 0)$的数列：$a_1,a_1q,a_1a^2\cdots a_1q^{n-1}$。

通项公式：$a_n=a_1q^{n-1}$。

前$n$项和：$S_n=
    \left\{
    \begin{array}{lcl}
        na_1,                   &  & r=1     \\
        \dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}, &  & r\neq 1
    \end{array}
    \right.$

若首项为1，则$1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}=\dfrac{1-r^n}{1-r}(r\neq 1)$。

则对无穷的极限为$\dfrac{1}{1-r}$。

\subsubsection{常见数列前\texorpdfstring{$n$}n项和}

\begin{enumerate}
    \item $\sum_{k=1}^nk=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$。
    \item $\sum_{k=1}^nk^2=1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。
    \item $\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{n}{n+1}$。
\end{enumerate}

\subsection{三角函数}

\subsubsection{基本关系}

$\csc\alpha=\dfrac{1}{\sin\alpha},\sec\alpha=\dfrac{1}{\cos\alpha},\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha},\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$。

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha,1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha$。

$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha)$，$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)$。

\subsubsection{诱导公式}

奇变偶不变，符号看象限。奇指前面添加的常数项是否为$\pi$的整数倍，是就需要改变函数，看象限指添加了常数后整体的符号看函数所在象限的符号。

\begin{enumerate}
    \item $\sin(\dfrac{\pi}{2}\pm\alpha)=\cos\alpha$
    \item $\cos(\dfrac{\pi}{2}\pm\alpha)=\mp\sin\alpha$
    \item $\sin(\pi\pm\alpha)=\mp\sin\alpha$
    \item $\cos(\pi\pm\alpha)=-\cos\alpha$
\end{enumerate}

\subsubsection{倍角公式}

$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$，$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)(\cos\alpha-\sin\alpha)=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1$。

$1+\sin2\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2$，$1-\sin2\alpha=(\sin\alpha-\cos\alpha)^2$。

$\sin 3\alpha=-4\sin^3\alpha_3\sin\alpha,\cos 3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$。

$\tan 2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha},\cot 2\alpha=\dfrac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}$。

\subsubsection{半角公式}

$\sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{2}(1-\cos\alpha),\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{2}(1+\cos\alpha)\text{（降幂公式）}$。

$\sin\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}},\cos\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}$。

$\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\dfrac{1}{\cot\dfrac{\alpha}{2}}$。

\subsubsection{和差公式}

$\sin$和$\tan$的和差公式更容易考到。

$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$。

$\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta},\cot(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\cot\alpha\cot\beta\mp 1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}$。

\subsubsection{积化和差公式}

和差化积与积化和差不需要背，都是和差公式的推导。

$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)],\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$。

$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)],\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$。

\subsubsection{和差化积公式}

$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}$。

$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$。

推理和差化积公式，如第一个：

$\sin\alpha+\sin\beta=\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}+\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)+\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}-\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)=$

$\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}+\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}+\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$

$-\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$

\subsubsection{万能公式}

可以视为特殊的倍角公式，将单角变为半角。

若$u=\tan\dfrac{x}{2}(-\pi<x<\pi)$，则$\sin x=\dfrac{2u}{1+u^2},\cos x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$。

\subsubsection{辅助角公式}

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi)$，$\sin\phi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\cos\phi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$。

\subsubsection{正弦定理}

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$。

\subsubsection{余弦定理}

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。

\subsubsection{三角形面积公式}

$S_{\vartriangle ABC}=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ac\sin B=\dfrac{1}{2}ab\sin C$。

\subsubsection{海伦公式}

$S_{\vartriangle ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，$p=\dfrac{a+b+c}{2}$。

\subsection{反三角函数}

因为只有单调函数才有反函数，所以对于三角函数必须选取其单调区间才有反函数。一般只讨论三角函数在其主值区间上的反函数（主值区间即包括锐角最大的单调区间）。

可以画单位圆直观思考。

\subsubsection{反正弦函数}

正弦函数$y=\sin x$在主值区间$\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$上的反函数就是反正弦函数，记为$y=\arcsin x$或$y=\sin^{-1}x$。表示其区间上正弦值等于$x$的一个角。

反正弦函数与正弦函数图像一样都是关于原点对称、严格单调递增、有界的奇函数。

当$x\in[-1,1]$时，$\arcsin(-x)=-\arcsin x$。

当$x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$时，$\arcsin(\sin x)=x$。

当$x\in[-1,1]$时，$\sin(\arcsin x)=x$。

\subsubsection{反余弦函数}

余弦函数$y=\cos x$在主值区间$[0,\pi]$上的反函数就是反余弦函数，记为$y=\arccos x$或$y=\cos^{-1}x$。表示其区间上余弦值等于$x$的一个角。

反余弦函数是严格单调递减、有界的非奇非偶函数，图像关于$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$对称。

因为关于$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$对称，若$x_1,x_2\in(-1,1)$，$x_1=-x_2$，则$\arccos x_1+\arccos x_2=\pi$。

当$x\in(-1,1)$时，$\arccos(-x)+\arccos x=\pi$。

当$x\in[0,\pi]$时，$\arccos(\cos x)=x$。

当$x\in[-1,1]$时，$\cos(\arccos x)=x$。

当$x\in[-1,1]$时，$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$。令$u=\arccos x\in[0,\pi]$，所以$\cos u=x$，从而$\sin(\arccos x)=\sin u=\sqrt{1-\cos^2u}=\sqrt{1-x^2}$。

同理可得$\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$。

$\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}$。证明需要分三种情况。

\subsubsection{反正切函数}

正切函数$y=\tan x$在主值区间$\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$上的反函数就是反正切函数，记为$y=\arctan x$或$y=\tan^{-1}x$。表示其区间上正切值等于$x$的一个角。

正切函数是关于原点对称、严格单调递增、有界的奇函数。值域为$\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，定义域为$(-\infty,+\infty)$。

当$x\in(-\infty,+\infty)$时，$\arctan(-x)=-\arctan x$。

当$x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，$\arctan(\tan x)=x$。

当$x\in(-\infty,+\infty)$时，$\tan(\arctan x)=x$。

\textbf{例题：}求$\arctan\dfrac{1}{2}+\arctan\dfrac{1}{3}$的值。

解：由于求反正切函数不方便，所以转换为正切函数来求。

令$\arctan\dfrac{1}{2}=\alpha$，$\arctan\dfrac{1}{3}=\beta$，所以$\tan\alpha=\dfrac{1}{2}$，$\tan\beta=\dfrac{1}{3}$。

又由反正切函数的定义，$\alpha,\beta\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，$\alpha+\beta\in(-\pi,\pi)$。

想求出$\alpha+\beta$就要利用和差公式：$\therefore\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=1$。

即$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}=\arctan\dfrac{1}{2}+\arctan\dfrac{1}{3}$。

\subsubsection{反余切函数}

余切函数$y=\cot x$在主值区间$[0,\pi]$上的反函数就是反余切函数，记为$y=\textrm{arccot}\,x$或$y=\cot^{-1}x$。表示其区间上余切值等于$x$的一个角。

余切函数是关于$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$中心对称、严格单调递减、有界的非奇非偶函数。值域为$(0,\pi)$，定义域为$(-\infty,+\infty)$。

当$x\in(-\infty,+\infty)$时，$\textrm{arccot}(-x)=\pi-\textrm{arccot}\,x$。

当$x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，$\textrm{arccot}(\cot x)=x$。

当$x\in(-\infty,+\infty)$时，$\cot(\textrm{arccot}\,x)=x$。

当$x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$时，$\tan(\textrm{arccot}\,x)=\dfrac{1}{x}$，$\cot(\arctan x)=\dfrac{1}{x}$。

当$x\in(-\infty,+\infty)$时，$\arctan x+\textrm{acrccot}\,x=\dfrac{\pi}{2}$。

\subsection{指数运算法则}

$a^\alpha\cdot a^\beta=a^{\alpha+\beta},\dfrac{a^\alpha}{a^\beta}=a^{\alpha-\beta},(a^\alpha)^\beta=a^{\alpha\beta},(ab)^\alpha=a^\alpha b^\alpha,(\dfrac{a}{b})^\alpha=\dfrac{a^\alpha}{b^\alpha}$。

其中$a$，$b$为正实数，$\alpha$，$\beta$为任意实数。

\subsection{对数运算法则}

重点：

\begin{enumerate}
    \item $\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN$（积的对数=对数的和）。
    \item $\log_a(\dfrac{M}{N})=\log_aM-\log_aN$（商的对数=对数的差）。
    \item $\log_aM^n=n\log_aM$（幂的对数=对数的倍数）。
    \item $\log_a\sqrt[n]{M}=\dfrac{1}{n}\log_aM$。
\end{enumerate}

所以以后多项相乘相除乘方开方都\textcolor{orange}{取对数}进行化简。

对于分数相减的对数先\textcolor{orange}{通分}再进行对数减法。

如下面这个题（先不要求能直接证明）：

\textbf{例题：}证明$\dfrac{1}{x+1}<\ln(1+\dfrac{1}{x})<\dfrac{1}{x}$，其中$x>0$。

证明：首先因为证明中间项无法进行直接处理，又看到是一个对数，所以进行通分：$\ln(1+\dfrac{1}{x})=\ln\dfrac{x+1}{x}=\ln(x+1)-\ln x$。

又因为是证明该中间式在一个区间，所以很明显会想到拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。

得到原式$=f'(\xi)=(\ln\xi)'=\dfrac{1}{\xi}$，又中值定理下$a<\xi<b$且$x>0$，所以$\dfrac{1}{b}<\dfrac{1}{\xi}<\dfrac{1}{a}$，得到$0<\dfrac{1}{x+1}<\dfrac{1}{\xi}<\dfrac{1}{x}$。

所以原式$\dfrac{1}{x+1}<\ln(1+\dfrac{1}{x})<\dfrac{1}{x}$成立。

\subsection{一元二次方程基础}

\begin{enumerate}
    \item 基本格式为$ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$。
    \item 如果$\Delta=\sqrt{b^2-4ac}\geqslant 0$，根的公式为$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中如果等于0为唯一实根，如果大于0为二重实根，如果$\Delta<0$则得到共轭复数根$-\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i$。
    \item 根与系数的关系（韦达定理）为$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},x_1x_2=\dfrac{c}{a}$。
    \item 抛物线顶点为$(-\dfrac{b}{2a},c-\dfrac{b^2}{4a})$。
\end{enumerate}

\subsection{因式分解公式}

重点为3、4、7和11的公式。

\begin{enumerate}
    \item $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
    \item $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
    \item $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$。
    \item $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$。
    \item $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
    \item $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
    \item $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$。
    \item $n$为正整数时，$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$。
    \item $n$为正偶数时，$a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}-b^{n-1})$。
    \item $n$为正奇数时，$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})$。
    \item 二项式定理$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k=a^n+na^{n-1}b+\dfrac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2+\cdots+\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}a^{n-k}b^k+\cdots+nab^{n-1}+b^n$。
\end{enumerate}

对于二项式定理需要记忆，后面的幂比较简单，而前面的系数比较困难，可以使用杨辉三角形来记忆：


\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
    \node[black] at (0,0) {$C_0^0$};
    \node[black] at (-1,-1) {$C_1^0$};
    \node[black] at (0,-1) {$C_1^1$};
    \node[black] at (-2,-2) {$C_2^0$};
    \node[black] at (-1,-2) {$C_2^1$};
    \node[black] at (-0,-2) {$C_2^2$};
    \node[black] at (-3,-3) {$C_3^0$};
    \node[black] at (-2,-3) {$C_3^1$};
    \node[black] at (-1,-3) {$C_3^2$};
    \node[black] at (-0,-3) {$C_3^3$};
    \node[black] at (-4,-4) {$C_4^0$};
    \node[black] at (-3,-4) {$C_4^1$};
    \node[black] at (-2,-4) {$C_4^2$};
    \node[black] at (-1,-4) {$C_4^3$};
    \node[black] at (-0,-4) {$C_4^4$};
\end{tikzpicture}
\hspace{2.5em}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
    \node[black] (0) at (0,0) {1};
    \node[black] (1) at (-1,-1) {1};
    \node[black] (2) at (1,-1) {1};
    \node[black] (3) at (-2,-2) {1};
    \node[black] (4) at (0,-2) {2};
    \node[black] (5) at (2,-2) {1};
    \node[black] (6) at (-3,-3) {1};
    \node[black] (7) at (-1,-3) {3};
    \node[black] (8) at (1,-3) {3};
    \node[black] (9) at (3,-3) {1};
    \node[black] (10) at (-4,-4) {1};
    \node[black] (11) at (-2,-4) {4};
    \node[black] (12) at (0,-4) {6};
    \node[black] (13) at (2,-4) {4};
    \node[black] (14) at (4,-4) {1};
    \draw[-,thick] (0) to (1);
    \draw[-,thick] (0) to (2);
    \draw[-,thick] (1) to (3);
    \draw[-,thick] (1) to (4);
    \draw[-,thick] (2) to (4);
    \draw[-,thick] (2) to (5);
    \draw[-,thick] (3) to (6);
    \draw[-,thick] (3) to (7);
    \draw[-,thick] (4) to (7);
    \draw[-,thick] (4) to (8);
    \draw[-,thick] (5) to (8);
    \draw[-,thick] (5) to (9);
    \draw[-,thick] (6) to (10);
    \draw[-,thick] (6) to (11);
    \draw[-,thick] (7) to (11);
    \draw[-,thick] (7) to (12);
    \draw[-,thick] (8) to (12);
    \draw[-,thick] (8) to (13);
    \draw[-,thick] (9) to (13);
    \draw[-,thick] (9) to (14);
\end{tikzpicture}

\subsection{阶乘与双阶乘}

\begin{enumerate}
    \item $n!=1\times 2\times 3\times\cdots\times n$，其中$0!=1$。
    \item $(2n)!!=2\times 4\times 6\times\cdots\times(2n)=2^n\cdot n!$。
    \item $(2n-1)!!=1\times 3\times 5\times\cdots\times(2n-1)$。
\end{enumerate}

以后的华里士公式（点火公式，在定积分中）会使用到，如下面的题目：

\textbf{例题：}计算$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{10}x\textrm{d}x$与$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^9x\textrm{d}x$。\medskip

解：原式1为偶数次幂，所以$=\dfrac{9}{10}\cdot\dfrac{7}{8}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{9!!}{10!!}$。\medskip

原式2为奇数次幂，所以$=\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{6}{7}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{8!!}{9!!}$

\subsection{常用不等式}

非常重要。

\subsubsection{绝对值不等式}

若$a$，$b$为实数，则：

\begin{enumerate}
    \item $\vert a\pm b\vert\leqslant\vert a\vert+\vert b\vert$。
    \item 推广公式一到离散区间：$\vert a_1\pm a_2\pm a_3\pm\cdots\pm a_n\vert\leqslant\vert a_1\vert+\vert a_2\vert+\cdots+\vert a_n\vert$。
    \item 推广公式一到连续区间且$f(x)$在$[a,b](a<b)$上可积：$\vert\int_a^bf(x)\textrm{d}x\vert\leqslant\int_a^b\vert f(x)\vert\textrm{d}x$。因为符号不一定相同的面积代数和一定小于同为正的面积代数和。
    \item $\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leqslant\vert a-b\vert$。后式子为两点之差，前式子可以看作$a$、$b$两点与0之间的距离的差，若异号则两者必然抵消一部分，若同号则就等于后式。
\end{enumerate}



\subsubsection{根号不等式}

公式一非常重要，即算数平均值大几何平均值。

$a,b,c>0$：

\begin{enumerate}
    \item $\sqrt{ab}\leqslant\dfrac{a+b}{2}\leqslant\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$。
    \item $\sqrt[3]{abc}\leqslant\dfrac{a+b+c}{3}\leqslant\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$。
\end{enumerate}

\textbf{例题：}证明函数$f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$在$(-\infty,+\infty)$内有界。

证明：可以使用极限，若极限存在则函数有界，这里使用有界性定义与不等式来完成。

\ding{172}当$x=0$时，$f(0)=\dfrac{0}{1}$，有界。

\ding{173}当$x\neq 0$时，原式分式上下都有$x$，所以简化公式：$f(x)=\dfrac{\dfrac{x}{x}}{\dfrac{1+x^2}{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}+x}$。

$\because$需要证明有界性，以及根号不等式下需要参数大于0，所以需要证明$\vert f(x)\vert=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\vert x\vert}+\vert x\vert}\leqslant M$

又$\because\dfrac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$，$\therefore \dfrac{\dfrac{1}{\vert x\vert}+\vert x\vert}{2}\geqslant\sqrt{\dfrac{1}{\vert x\vert}\cdot\vert x\vert}=1$

$\therefore\vert f(x)\vert=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\vert x\vert}+\vert x\vert}\leqslant\dfrac{1}{2}$。

故整个函数在$R$上有界。

\subsubsection{指数不等式}

设$a>b>0$，则$
\left\{
\begin{array}{lcl}
    a^n>b^n,   &  & \text{当}n>0\text{时} \\
    a^n<b^n, &  & \text{当}n<0\text{时}
\end{array}
\right.$。

$e^x\geqslant x+1(\forall x)$。

\subsubsection{分数不等式}

若$0<a<x<b,0<c<y<d$，则$\dfrac{c}{b}<\dfrac{y}{x}<\dfrac{d}{a}$。

\subsubsection{三角不等式}

\begin{enumerate}
    \item $\sin x<x<\tan x(0<x<\dfrac{\pi}{2})$。
    \item $\sin x<x(x>0)$。
    \item $\arctan x\leqslant x\leqslant\arcsin x(0\leqslant x\leqslant 1)$。
\end{enumerate}

\subsubsection{对数不等式}

\begin{enumerate}
    \item $x-1\geqslant\ln x(x>0)$。
    \item $\dfrac{1}{1+x}<\ln(1+\dfrac{1}{x})<\dfrac{1}{x}(x>0)$。
\end{enumerate}

\end{document}
