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\author{Didnelpsun}
\title{相似}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
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\tableofcontents
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\newpage
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特征值往往与前面的内容进行混合考察。

\section{特征值与特征向量}

首先根据$\vert\lambda E-A\vert=0$求出$\lambda$，然后把$\lambda$逐个带入$(\lambda E-A)x=0$，根据齐次方程求解方法进行初等变换求出基础解系。这个基础解系就是当前特征值的特征向量。

\subsection{代数余子式}

\textbf{例题：}已知$A$是3阶方阵，特征值为1，2，3，求$\vert A\vert$的元素$a_{11},a_{22},a_{33}$的代数余子式$A_{11},A_{22},A_{33}$的和$\sum\limits_{i=1}^3A_{ii}$。

解：首先代数余子式的和$A_{11},A_{22},A_{33}$一般在行列式展开定理中使用，但是这里给出的不是一行或一列的代数余子式，而是主对角线上的代数余子式，这就无法使用代数余子式来表达行列式的值了。

而另一个提到代数余子式的地方就是伴随矩阵$A^*$，所求的正好是伴随矩阵的迹$tr(A^*)=A_{11}+A_{22}+A_{33}$。

又根据特征值性质，特征值的和为矩阵的迹，特征值的积为矩阵行列式的值，所以$tr(A^*)=A_{11}+A_{22}+A_{33}=\lambda_1^*+\lambda_2^*+\lambda_3^*$

$=\sum\limits_{i=1}^3\dfrac{\vert A\vert}{\lambda_i}=\sum\limits_{i=1}^3\dfrac{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}{\lambda_i}=\lambda_2\lambda_3+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_2=2+3+6=11$。

\subsection{特征值}

\subsubsection{对应特征向量}

通过相关式子将逆矩阵转换为原矩阵。同一个向量的逆矩阵的特征值是原矩阵的特征值的倒数。

\textbf{例题：}已知$\overrightarrow{\alpha}=(a,1,1)^T$是矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}
    -1 & 2 & 2 \\
    2 & a & -2 \\
    2 & -2 & -1
\end{array}\right]$的逆矩阵的特征向量，则求$\overrightarrow{\alpha}$在矩阵$A$中对应的特征值。

解：由于$\overrightarrow{\alpha}$是$A^{-1}$的特征向量，所以令此时的特征值为$\lambda_0$，则定义$\lambda_0\overrightarrow{\alpha}=A^{-1}\overrightarrow{\alpha}$，$\lambda_0A\overrightarrow{\alpha}=\overrightarrow{\alpha}$。

即$\lambda_0\left[\begin{array}{ccc}
    -1 & 2 & 2 \\
    2 & a & -2 \\
    2 & -2 & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
    a \\
    1 \\
    1 \\
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
    a \\
    1 \\
    1 \\
\end{array}\right]$，即$\lambda_0\left[\begin{array}{ccc}
    -a & 2 & 2 \\
    2a & a & -2 \\
    2a & -2 & -1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
    a \\
    1 \\
    1 \\
\end{array}\right]$。\medskip

即根据矩阵代表的是方程组，得到$\lambda_0(4-a)=a$，$\lambda_0(3a-2)=1$，$\lambda_0(2a-3)=1$。

又$\lambda_0\neq0$，$3a-2=2a-3$，$a=-1$，则$\lambda_0=-\dfrac{1}{5}$。

所以矩阵$A$对应的特征值为$-5$。

\subsubsection{矩阵关系式}

\textbf{例题：}已知$A$为3阶矩阵，$A^2+A-2E=0$，$\vert A\vert=-2$，求其特征值。

解：需要求$A$特征值，但是$A$未知，特征向量也未知，如何求？

首先要求特征值，就要首先设出特征方程：$A\xi=\lambda\xi$，$\xi\neq0$。

又$A^2+A-2E=0$，所以代入方程：$(A^2+A-2E)\xi=(\lambda^2+\lambda-2)\xi=0$。

$\because\xi\neq0$，$\lambda^2+\lambda-2=0$，解得$\lambda=-2$或$\lambda=1$。

但是不知道这个特征值各是几重，只知道存在这两种特征值。

又$\vert A\vert=\lambda_1\lambda_2\lambda_3=-2$，所以$\lambda_1=-2$，$\lambda_2=\lambda_3=1$。

\subsection{特征向量}

\subsubsection{实对称矩阵}

使用实对称矩阵性质，给出其他特征向量和特征值，即实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交（$B^TA=0$）。

\textbf{例题：}已知$A$为三阶实对称矩阵，特征值为$1,3，-2$，其中$\alpha_1=(1,2,-2)^T$，$\alpha_2=(4,-1,a)^T$分别属于特征值$\lambda=1$，$\lambda=3$的特征向量。求$A$属于特征值$\lambda=-2$的特征向量。

解：令$A$属于特征值$\lambda=-2$的特征向量为$(x_1,x_2,x_3)^T$。

根据实对称矩阵的正交性质。

$\alpha_1^T\alpha_2=4-2-2a=0$，$\alpha_2^T\alpha_3=4x_1-x_2+ax_3=0$，$\alpha_3^T\alpha_1=x_1+2x_2-2x_3=0$。

$a=1$，$4x_1-x_2+x_3=0$，$x_1+2x_2-2x_3=0$，解得基础解系$(0,1,1)^T$,$\alpha_3=(0,k,k)^T$（$k\neq0$）。

\subsubsection{可逆矩阵关系}

使用可逆矩阵相似对角化的性质。若$A\sim B$，则$P^{-1}AP=B$。$B$为纯量阵。且$B$的迹为$A$的特征值。$P$为特征向量。\medskip

\textbf{例题：}已知$P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}
    1 \\
     & 1 \\
     & & -1
\end{array}\right]$，$P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$可逆，求$A$关于特征值$\lambda=1$的特征向量。

解：根据$P^{-1}AP=\Lambda$，所以$P$为特征向量，$1,1,-1$为特征值。

所以$A$关于$\lambda=1$的特征向量为$\alpha_1$或$\alpha_2$。而某一特征值的全部特征向量构成特征向量子空间，所以$\lambda=1$的特征向量为$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$。

\subsubsection{抽象型}

题目只会给对应的式子，来求对应的特征向量。需要记住特征值的关系式然后与给出的式子上靠拢，不会很复杂。

\textbf{例题：}已知$A$为三阶矩阵，且矩阵$A$各行元素之和均为5，则求$A$必然存在的特征向量。

解：由于是抽象型，所以没有实际的数据，就不能求出固定的特征值，$\lambda\xi=A\xi$。

又矩阵$A$各行元素之和均为5，所以转换为方程组：\medskip

$\left\{\begin{array}{l}
    A_{11}+A_{12}+A_{13}=5 \\
    A_{21}+A_{22}+A_{23}=5 \\
    A_{31}+A_{32}+A_{33}=5
\end{array}\right.$，转为矩阵：$\left[\begin{array}{ccc}
    A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
    A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
    A_{31} & A_{32} & A_{33}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
    1 \\
    1 \\
    1 \\
\end{array}\right]=5\left[\begin{array}{c}
    1 \\
    1 \\
    1 \\
\end{array}\right]$。\medskip

即$\xi=(1,1,1)^T$。

\subsection{矩阵}

即根据$A=P\Lambda P^{-1}$的特征向量矩阵和特征值矩阵来反求矩阵。

\subsection{行列式值}

一般会给出特征值，求$A$的行列式值。

\subsubsection{特征方程}

题目要求$\vert f(A)-E\vert$的形式，即求$f(A)$的特征值。

\textbf{例题：}设$A$为三阶矩阵，已知$-3E+A$不可逆，$\vert2E+A\vert=0$，$(E-A)x=0$有非零解，求$\vert A^*-E\vert$。

解：前三个条件都是为了指明$\vert-3E+A\vert=\vert3E-A\vert=0$，$\vert-2E-A\vert=0$，$\vert E-A\vert=0$，即得到$A$的三个特征值$\lambda_1=3$、$\lambda_2=-2$、$\lambda_3=1$。

求$\vert A^*-E\vert$即求$A^*$的特征值，然后再乘起来，即得到行列式的值。

又$A^{-1}=\dfrac{A^*}{\vert A\vert}$，所以$A^*=\dfrac{\vert A\vert}{A}$。

$\vert A\vert$等于特征值的乘积$-6$，对应的特征值即为$\mu_1=\dfrac{-6}{3}=-2$，$\mu_2=\dfrac{-6}{-2}=3$，$\mu_3=\dfrac{-6}{1}=-6$。

对应$A^*-E$的特征值为$-3$，$2$，$-6$，所以最后的行列式值为$42$。

\subsubsection{矩阵函数}

题目要求$\vert f(A)\vert$的形式，即求$f(A)$的特征值，然后求其乘积就是矩阵方程的行列式值。

\section{相似理论}

$P^{-1}AP=\Lambda$，$P$为特征向量组，$\Lambda$为特征值矩阵。

\subsection{判断相似对角化}

可以使用相似对角化的四个条件，但是最基本的使用还是$A$有$n$个无关的特征向量$\xi$。

判断以下条件即可相似对角化：

\begin{enumerate}
    \item 实对称矩阵，即所有元素关于主对角线对称。
    \item 特征值都是实单根，即$n$个不同特征值，不存在重根。
    \item 特征值存在$t$重根，相同特征值对应$t$个线性无关的特征向量。（如果小于$n$则不相似）
\end{enumerate}

一般都是第三种情况，判断存在重根后要使用$[\lambda E-A]$，然后计算$r(E-A)$，然后$s$自由变量值即无关特征向量值$=n-r$，如果$s=t$则可以相似对角化，如果$s<t$则不可以。

\subsection{反求参数}

常用方法：

\begin{itemize}
    \item 若$A\sim B$，则$\vert A\vert=\vert B\vert$，$r(A)=r(B)$，$tr(A)=tr(B)$，$\lambda_A=\lambda_B$，通过等式计算参数。
    \item 若$\xi$是$A$属于特征值$\lambda$的特征向量，则有$A\xi=\lambda\xi$，建立若干等式或方程组来计算参数。
    \item 若$\lambda$是$A$的特征值，则与$\vert\lambda E-A\vert=0$，通过该等式计算参数。
\end{itemize}

\subsubsection{两个矩阵对比}

两个矩阵相似的前提是可以相似对角化，如果存在$n$重根而没有$n$个线性无关的特征向量则必然不相似。

\textbf{例题：}已知$A=\left(\begin{array}{ccc}
    2 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
    0 & 1 & x
\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc}
    2 \\
     & y \\
     & & -1
\end{array}\right)$，且$A\sim B$，求参数。\medskip

首先可以利用迹相等，则$2+0+x=2+y-1$，行列式值相等，则$-2=-2y$，解得$x=0$，$y=1$。

\subsubsection{单矩阵}

% \begin{itemize}
%     \item 定义法：若存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$，则$A\sim B$。
%     \item 性质：若$A\sim B$，则$r(A)=r(B)$，$\vert A\vert=\vert B\vert$，$tr(A)=tr(B)$，$\lambda_A=\lambda_B$。
%     \item 传递性：$A\sim\Lambda$，$\Lambda\sim B$，则$A\sim B$。
% \end{itemize}

% \begin{enumerate}
%     \item 首先要判断特征值是否相等（利用$\vert\lambda E-A\vert$）。
%     \item 判断矩阵是否可以相似对角化（先根据特征值拼出$\Lambda$，然后求矩阵的秩是否也有同样数量的特征向量）。
% \end{enumerate}

\begin{enumerate}
    \item 利用$\vert\lambda E-A\vert=0$求出特征值。判断得到$n$阶矩阵有$m$个不同特征值。（$m\leqslant n$）
    \item 利用$[\lambda E-A]$计算秩。利用$s=n-r$（自由变量的个数=未知数个数-矩阵秩）公式反解出秩$r$，并以此解出未知数。
\end{enumerate}

\textbf{例题：}已知矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}
    3 & 1 & 2 \\
    0 & 2 & a \\
    0 & 0 & 3
\end{array}\right]$和对角矩阵相似，求$a$。\medskip

解：由于$A$是对角矩阵，所以特征值为其迹$\lambda=(3,2,3)$。特征值有二重根。

已知$A\sim\Lambda$，$\lambda=3$有两个线性无关的特征向量。即$(3E-A)x=0$有两个线性无关的解（自由变量）。即$r(3E-A)=1$。

$3E-A=\left[\begin{array}{ccc}
    0 & -1 & -2 \\
    0 & 1 & -a \\
    0 & 0 & 0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
    0 & -1 & -2 \\
    0 & 0 & -a-2 \\
    0 & 0 & 0
\end{array}\right]$，$\therefore a=-2$。

\subsubsection{抽象型}

首先要计算其特征值，再根据特征值反代特征方程，根据向量的构成判定秩的大小。

\textbf{例题：}已知$A=\left(\begin{array}{ccc}
    0 & 0 & 1 \\
    x & 1 & y \\
    1 & 0 & 0
\end{array}\right)$相似于对角矩阵，求$xy$关系式。

解：已知相似，即$P^{-1}AP=\Lambda$，则需要求$A$的特征值和特征向量。

根据特征关系式$\vert E\lambda-A\vert=0$，即$\left\vert\begin{array}{ccc}
    \lambda & 0 & -1 \\
    -x & \lambda-1 & -y \\
    -1 & 0 & \lambda
\end{array}\right\vert=(\lambda-1)(\lambda^2-1)=(\lambda-1)^2(\lambda+1)=0$，即有特征值$\lambda_1=\lambda_2=1$，$\lambda_3=1$。

此时有二重特征值，所以应该有两个线性无关的特征向量，即对于$(E-A)x=0$有两个线性无关的解向量，所以该矩阵的秩为$3-2=1$。

$E-A=\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & -1 \\
    -x & 1 & -y \\
    -1 & 0 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & -1 \\
    0 & 0 & -x-y \\
    0 & 0 & 0
\end{array}\right)$。

所以当$r(E-A)=1$时$x+y=0$。

\subsection{相似矩阵}

\subsubsection{具体型}

$\vert \lambda E-A\vert=0$或$(\lambda E-A)x=0$。

\subsubsection{抽象型}

定义$A\alpha=\lambda\alpha$。

\textbf{例题：}设$A$是三阶矩阵，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是三维线性无关的列向量，且$A\alpha_1=\alpha_2+\alpha_3$，$A\alpha_2=\alpha_1+\alpha_3$，$A\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$，求$A$相似的矩阵。

解：$A\sim\Lambda$，则$P^{-1}AP=\Lambda$。

$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+\alpha_3,\alpha_1+\alpha_2)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\left[\begin{array}{ccc}
    0 & 1 & 1 \\
    1 & 0 & 1 \\
    1 & 1 & 0
\end{array}\right]$。

记$P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，$B=\left[\begin{array}{ccc}
    0 & 1 & 1 \\
    1 & 0 & 1 \\
    1 & 1 & 0
\end{array}\right]$。\medskip

又$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是三维线性无关的列向量，$\therefore\vert\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\vert\neq0$，所以$P$可逆。

$\therefore AP=PB$，$P^{-1}AP=B$，$A\sim B$。

\subsection{特殊矩阵}

\subsubsection{实对称矩阵}

根据实对称矩阵不同特征值的特征向量必然相互正交的性质求解。

一般会给出特征值（全部）和对应的特征向量（部分）。

$Q^{-1}AQ=P$。其中$Q$为特征向量矩阵，一般都是正交的，而$P$为对应的特征值矩阵。

首先要利用不同特征值的特征向量正交的性质，把所有的特征向量都求出来。

然后矩阵$Q$就是所有特征向量的拼合。如果要求原矩阵$A$，则利用$A\xi=\lambda\xi$，推出$AQ=PQ$，从而$A=PQQ^{-1}$。

\textbf{例题：}已知$A$是三阶实对称矩阵，若正交矩阵$Q$使得$Q^{-1}AQ=\left[\begin{array}{ccc}
    3 & 0 & 0 \\
    0 & 3 & 0 \\
    0 & 0 & 6
\end{array}\right]$，如果$\alpha_1=(1,0,-1)^T$和$\alpha_2=(0,1,1)^T$是矩阵$A$属于特征值$\lambda=3$的特征向量，求$Q$。

解：首先由正交矩阵就可以知道各特征值正交。令$\alpha_3=(x_1,x_2,x_3)^T$。对应的$\lambda_3=6$。

$\alpha_3^T\alpha_1=x_1-x_3=0$，$\alpha_3^T\alpha_2=x_2+x_3=0$，求$\lambda_3$的特征值，则不如令$x_3=1$，则解得$\alpha_3=(1,-1,1)^T$。

这样$Q=\left[\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 1 \\
    0 & 1 & -1 \\
    -1 & 1 & 1
\end{array}\right]$，还需要将$Q$正交单位化。可知$\alpha_3$根据正交规律求出来，一定是正交的，而$\alpha_1^T\alpha_2=-1\neq0$所以需要正交。

令$\beta_1=\alpha_1=(1,0,-1)^T$，$\beta_2=\alpha_2-\dfrac{<\alpha_2,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1=(0,1,1)^T+\dfrac{1}{2}(1,0,-1)^T=(\dfrac{1}{2},1,\dfrac{1}{2})^T$。

最后对整个$Q$进行单位化：$\gamma_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^T$，$\gamma_2=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^T$，$\gamma_3=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)^T$。

\subsubsection{爪型矩阵}

即类似于爪形行列式，且列数较大，不可能直接计算，所以就需要把常数项提出来。

\textbf{例题：}设$n$（$n\geqslant2$）阶矩阵$A=\left[\begin{array}{ccccc}
    a & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
    1 & a & 1 & \cdots & 1 \\
    1 & 1 & a & \cdots & 1 \\
    \vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots \\
    1 & 1 & 1 & \cdots & a
\end{array}\right]$。求可逆矩阵$P$与对角矩阵$\Lambda$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$，并求$r(A^*)$。

解：矩阵$A$是个爪形，直接使用$\vert\lambda E-A\vert=0$计算特征值非常复杂，所以对其化简：

$A=\left[\begin{array}{cccc}
    a-1 \\
    & a-1 \\
    & & \cdots \\
    & & & a-1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}
    1 & 1 & \cdots & 1 \\
    1 & 1 & \cdots & 1 \\
    \vdots & \vdots & & \vdots \\
    1 & 1 & \cdots & 1 \\
\end{array}\right]=(a-1)E+B$。

$\vert\lambda E-B\vert=\left\vert\begin{array}{cccc}
    \lambda-1 & -1 & \cdots & -1 \\
    -1 & \lambda-1 & \cdots & -1 \\
    \vdots & \vdots & & \vdots \\
    -1 & -1 & \cdots & \lambda-1
\end{array}\right\vert=\left\vert\begin{array}{cccc}
    \lambda-n & \lambda-n & \cdots & \lambda-n \\
    -1 & \lambda-1 & \cdots & -1 \\
    \vdots & \vdots & & \vdots \\
    -1 & -1 & \cdots & \lambda-1
\end{array}\right\vert=\left\vert\begin{array}{cccc}
    \lambda-n & 0 & \cdots & 0 \\
    -1 & \lambda & \cdots & 0 \\
    \vdots & \vdots & & \vdots \\
    -1 & 0 & \cdots & \lambda
\end{array}\right\vert=0$，所以$\lambda_1=n$，$\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0$。

从而$A$的特征值为$n+a-1$、$a-1$、$\cdots$、$a-1$。

所以根据特征值$(nE-B)x=0$，$x_1=(1,1,\cdots,1)^T$，$(0E-B)x=0$，$x_2=(1,-1,0,\cdots,0)^T$、$x_3=(1,0,-1,\cdots,0)^T$、$\cdots$、$x_n=(1,0,0,\cdots,-1)^T$。

根据特征值和特征向量的性质，$x_i$也是$A$的特征向量。

令$P=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，则$P^{-1}AP=diag(n+(a-1),a-1,\cdots,a-1)$。

因为$A\sim\Lambda$，所以$\vert A\vert=\vert\Lambda\vert=(n+a-1)(a-1)^n-1$，所以：

$r(A)=\left\{\begin{array}{ll}
    n, & a\neq1-n,a\neq1 \\
    n-1, & a=1-n \\
    1, & a=1
\end{array}\right.$，所以$r(A^*)=\left\{\begin{array}{ll}
    n, & a\neq1-n,a\neq1 \\
    1, & a=1-n \\
    0, & a=1
\end{array}\right.$。

\subsection{矩阵关系式}

若有可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$，则：

$P$即是$A$特征向量的拼合。

\begin{itemize}
    \item $A=P\Lambda P^{-1}$。
    \item $A^k=P\Lambda^kP^{-1}$。
    \item $f(A)=Pf(\Lambda)P^{-1}$。
\end{itemize}

\textbf{例题：}已知$A=\left(\begin{array}{ccc}
    2 & x & 1 \\
    0 & 3 & 0 \\
    3 & -6 & 0
\end{array}\right)$相似于对角矩阵，求$A^{100}$。\medskip

解：首先$A\sim\Lambda$，所以$A$能相似对角化。

$\vert\lambda E-A\vert=\left|\begin{array}{ccc}
    \lambda-2 & -x & -1 \\
    0 & \lambda-3 & 0 \\
    -3 & 6 & \lambda
\end{array}\right|=(\lambda-3)^2(\lambda+1)=0$。$\lambda_1=\lambda_2=3$，$\lambda_3=-1$。

所以对于$\lambda_1=\lambda_2=3$时，需要$s=2$，从而$r(A)=1$，对应成比例。

代入3：$(3E-A)x=0$，$\left(\begin{array}{ccc}
    1 & -x & -1 \\
    0 & 0 & 0 \\
    -3 & 6 & 3
\end{array}\right)=0$，所以$\dfrac{-1}{3}=\dfrac{-x}{6}$，$x=2$。

解得$\xi_1=(1,0,1)^T$，$\xi_2=(2,1,0)^T$，$\xi_3=(1,0,-3)^T$。

令$P=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$，所以$A=P\Lambda P^{-1}$，$A^{100}=P\Lambda^{100}P^{-1}$。

\end{document}
