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\title{高等数学I\quad 习题课04}
\subtitle{数列的极限}
\date[2025.10.9]{2025.10.9}
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\author[上海科技大学]{}
\institute[]{上海科技大学}



\begin{document}

\begin{frame}
    \vspace{15pt}
    \titlepage
\end{frame}

% \begin{frame}{Quiz}
%     \[
%     \text{\Huge 18:00 - 18:20}
%     \]
% \end{frame}

\begin{frame}{目录}
    \tableofcontents
\end{frame}

\AtBeginSection[ ]
{
\begin{frame}{目录}
    \tableofcontents[currentsection]
\end{frame}
}

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\section{杂项}

\begin{frame}{及时总结}
    \begin{itemize}
        \item 数学学习类似于一场魂类游戏
        \item 每一个版块，都有自己的难点，一个需要攻克的Boss
        \begin{itemize}
            \item 在不断的尝试与失败中积累经验
            \item 对过去的经验加以总结，重新出发
        \end{itemize}
        \item 每一个板块结束后，找到自己的“赐福”，总结所学到的知识，进行“存档”
        \item 注意\textbf{难度曲线}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{难度曲线}
    \includegraphics[width=\linewidth]{chart (1).png}
\end{frame}

\begin{frame}{难度曲线}
    \begin{itemize}
        \item 游戏：先难后易
        \begin{itemize}
            \item 难点通过后，只要再一点就能成功
        \end{itemize}
        \item 课业：先易后难
        \begin{itemize}
            \item 从简单的小知识点积累经验与信心
            \item 从大量的小板块中提炼核心以应对大的难点
        \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{关于习题课02 反馈}
    \begin{columns}
        % 左栏：文字
        \begin{column}{0.5\textwidth}
            \begin{figure}[H]
                \centering
                \includegraphics[width=1.0\linewidth]{quality.png}
                \caption{课程质量}
            \end{figure}
        \end{column}

        \begin{column}{0.5\textwidth}
            \begin{figure}[H]
                \centering
                \includegraphics[width=1.0\linewidth]{atmosphere.png}
                \caption{课堂氛围}
            \end{figure}
        \end{column}
    \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{关于习题课02 反馈}
    \begin{itemize}
        \item PPT空白多留一些方便记笔记
        \begin{itemize}
            \item 可以使用笔记软件内的增加页面功能
        \end{itemize}
        \item 覆盖面再广一些
        \begin{itemize}
            \item 各人教学风格各有不同，个人倾向于增加内容深度而非广度
        \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{贝塞尔曲线}
    贝塞尔曲线是设计与工程上常用的参数曲线.

    平面上一条$n$次贝塞尔曲线由$n+1$个互不相同的控制点
    \[
    P_0(x_0,y_0), P_1(x_1,y_1), \cdots ,P_n(x_n,y_n)
    \]
    决定.其参数方程$B_{P_0P_1\cdots P_n}(t)$可以用下面的递推式表达：
    \[
    B_{P_0}(t)=P_0
    \]\[
    B_{P_0P_1\cdots P_n}(t)=(1-t)B_{P_0P_1\cdots P_{n-1}}(t)+tB_{P_1\cdots P_n}(t),\ 0\le t\le 1.
    \]
\end{frame}

\begin{frame}{贝塞尔曲线}
    \begin{enumerate}
        \item[(1)] 写出一条一次贝塞尔曲线的参数方程，并用文字准确地描述这条曲线.
        \item[(2)] 计算一条二次贝塞尔曲线对参数$t$的二阶导函数（用其三个控制点的坐标表示）.
        \item[(3)] 对三个不共线的控制点$P_0,P_1,P_2$，论证二次贝塞尔曲线是一条抛物线（提示：可将上一问的结果与某物理场景对比）.
        \item[(4)] 证明
        \[
        B_{P_0P_1\cdots P_n}(t)=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}(1-t)^{n-i} t^i P_i.
        \]
    \end{enumerate}
\end{frame}

\section{数列的极限}
\subsection{定义}
\begin{frame}{定义}
    对数列$\{x_n\}$，若存在数$A$,$\forall \epsilon>0,\exists N\in \mathbb{N}$，使得当$n>N$时，
    \[
    |x_n-A|<\epsilon
    \]
    则称数列$\{x_n\}$的\textbf{极限}为$A$，或称数列$\{x_n\}$\textbf{收敛}，且收敛于$A$，记为
    \[
    \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=A \text{ 或者 }\ x_n\rightarrow A\quad (n\rightarrow\infty)
    \]
    \color{red}?
\end{frame}

\begin{frame}{定义}
    对数列$\{x_n\}$，若存在数$A$,$\forall \epsilon>0,\exists N\in \mathbb{N}$，使得当$n>N$时，
    \[
    |x_n-A|<\epsilon
    \]
    则称数列$\{x_n\}$的\textbf{极限}为$A$，或称数列$\{x_n\}$\textbf{收敛}，且收敛于$A$，记为
    \[
    \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=A \text{ 或者 }\ x_n\rightarrow A\quad (n\rightarrow\infty)
    \]
    数列极限的定义，究竟在描述什么？
\end{frame}

\begin{frame}{Game}
    Alice 和 Bob 在玩一个与数列有关的游戏.给定数列$\{a_n\}$，实数$L$
    \begin{enumerate}
        \item Alice 选定一个正数$\epsilon$
        \item Bob 选定一个自然数$N$
        \item Alice 选定一个大于$N$的自然数$n$.
    \end{enumerate}
    如果$|a_n-L|<\epsilon$，则Bob赢，否则Alice赢.
    \begin{itemize}
        \item 思考：双方会为了赢采取什么策略？
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Game - Strategy}
    \begin{itemize}
        \item Alice
        \begin{itemize}
            \item 希望 $|a_n-L|\ge\epsilon$. 因此，$\epsilon$越小越有利于Alice取胜.
        \end{itemize}
        \item Bob
        \begin{itemize}
            \item 希望 $|a_n-L|<\epsilon$. 选择越大的$N$越能限制Alice选择$n$的范围，进而防止Alice选出使得$|a_n-L|<\epsilon$不成立的$n$.
            \item 因此，$N$越大越有利于Bob获胜.
        \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Game - 必胜策略}
    \begin{itemize}
        \item 分别在什么条件下，Alice和Bob各有必胜策略？
        \item 对于Bob\dots
        \begin{itemize}
            \item 对于\textbf{任意}的$\epsilon>0$，总能找到一个自然数$N$，使得对于所有的$n>N$，$|a_n-L|<\epsilon$都成立.
            \item $\forall \epsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ s.t.\ \forall n>N,\ |a_n-L|<\epsilon.\quad \Leftrightarrow\quad \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=L$
        \end{itemize}
        \item 对于Alice\dots
        \begin{itemize}
            \item 对于\textbf{任意}的$N$, 总能找到一个实数$\epsilon >0$，使得存在一个$n>N$，$|a_n-L|\ge\epsilon$成立.
            \item $\forall N\in\mathbb{N},\ \exists \epsilon>0,\ s.t.\ \exists n>N,\ |a_n-L|\ge\epsilon.$
            \item \color{red}?
        \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Game - 必胜策略}
    \begin{itemize}
        \item 分别在什么条件下，Alice和Bob各有必胜策略？
        \item 对于Bob\dots
        \begin{itemize}
            \item 对于\textbf{任意}的$\epsilon>0$，总能找到一个自然数$N$，使得对于所有的$n>N$，$|a_n-L|<\epsilon$都成立.
            \item $\forall \epsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ s.t.\ \forall n>N,\ |a_n-L|<\epsilon.\quad \Leftrightarrow\quad \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=L$
        \end{itemize}
        \item 对于Alice\dots
        \begin{itemize}
            \item 存在一个实数$\epsilon >0$，使得对于\textbf{任意}的$N$, 存在一个$n>N$，$|a_n-L|\ge\epsilon$成立.
            \item $\forall N\in\mathbb{N},\ \exists \epsilon>0,\ s.t.\ \exists n>N,\ |a_n-L|\ge\epsilon.$
            \item $\exists \epsilon>0,\ s.t.\ \forall N\in\mathbb{N},\ \exists n>N,\ |a_n-L|\ge\epsilon.\quad \Leftrightarrow \quad \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\ne L$
        \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{思考}
    因此，为何我们总要求一个足够小的$\epsilon$和一个足够大的$N$?
    \begin{itemize}
        \item 我们希望Alice能够有更小的机会、甚至没有机会赢.\\
        为了确保Alice无法获胜（即Bob有必胜策略，$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=L$），\\
        Bob需要在任意$\epsilon$的限制下，都能找到一个满足条件的$N$. \\
        \item Alice为了获胜一定会选取尽可能小的$\epsilon$.
        \item Bob为了获胜一定会选取尽可能大的$N$.
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Back to math}
    剖析定义：
    \[
    \forall \epsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ s.t.\ \forall n>N,\ |a_n-L|<\epsilon.
    \]
\end{frame}

\begin{frame}{结尾}
    \[
    |a_n-L|<\epsilon \Leftrightarrow L-\epsilon < a_n < L+\epsilon \Leftrightarrow a_n\in(L-\epsilon, L+\epsilon)
    \]
    \centering“$a_n$与$L$的距离足够近” / “$a_n$落在$L$的邻域里”
\end{frame}

\begin{frame}{条件}
    \[
    \forall \epsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ s.t.\ \forall n>N, \dots
    \]
    \begin{itemize}
        \item $\forall \epsilon >0$:给定一个任意小的范围 $(L-\epsilon, L+\epsilon)$
        \item $\exists N\in \mathbb{N}$:存在数列中的某一项
        \item $\forall n>N, \dots$:对此项以后的所有项，都满足条件\dots
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{含义}
    给定一个任意小的范围$(L-\epsilon, L+\epsilon)$，存在数列中的某一项$a_N$，使得对于这一项后的每一项
    $a_{N+1},a_{N+2},\ldots,a_n(n>N),\ldots$，都能确保$a_n$的值落在这个任意小的范围中.

    当$\epsilon$足够小，$a_n$的值几乎就落在$L$这个点上.
\end{frame}

\begin{frame}{例（HW2.T7）}
    用极限的定义\textbf{严格证明}：
    \[
    \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+7}{2n+13}=\frac32
    \]
\end{frame}

\begin{frame}{放缩}
    对于数列的极限：
    \begin{itemize}
        \item 直接计算出的$N$通常恰好比满足条件的最小值小一些
        \item 需要的$N$:足够大即可
        \item 大胆放缩！
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{无穷大与无穷小}
    无穷小：
    \[
    \forall \epsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ s.t.\ \forall n>N,\ |a_n-0|<\epsilon.
    \]
    无穷大：
    \[
    \forall G >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ s.t.\ \forall n>N,\ |a_n|>G.
    \]
    \begin{itemize}
        \item 无穷大与无穷小都是\textbf{数列}，而不是一个数.
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{例（HW2.T9）}
    用定义证明
    \[
    a_n=\frac1n\sin\frac{n\pi}2
    \]
    是无穷小.
\end{frame}

\begin{frame}{放缩}
    对于数列的极限：
    \begin{itemize}
        \item 直接计算出的$N$通常恰好比满足条件的最小值小一些
        \item 需要的$N$:足够大即可
        \item 大胆放缩，但要注意不能将数列放成常数甚至无穷大
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{目录}
    \tableofcontents[currentsection]
\end{frame}

\subsection{存在判别法}

\begin{frame}{夹逼定理}
    若对数列$\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\},\ \exists N\in\mathbb{N}$，当$n>N$时，
    \[
    z_n\le x_n\le y_n,
    \]
    且$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}z_n=A$，则有
    \[
    \lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n = A.
    \]
\end{frame}

\begin{frame}{夹逼定理}
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=0.7\linewidth]{squeeze.png}
    \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{例}
    求
    \[
    \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n+n}\right)
    \]
\end{frame}

% -------------------------------------------------------
% \section*{}
% \begin{frame}
% \vspace{25pt}
% \[
% \text{\Huge Office Hour}
% \]
% \end{frame}

\end{document}