### 6.57.10 Comatrice : adjoint_matrix

La comatrice de A est une matrice B telle que A* B=det(A)* I.
adjoint_matrix a comme argument une matrice carrée A d’ordre n.
adjoint_matrix renvoie une liste composée des coefficients du polynôme caractéristique P de A, d’une liste contenant les coefficients matriciels d’un polynôme Q tel que Q(x) soit la comatrice de A−x* I au signe près si n est pair!
On a :
P(x)=(−1)n* det(A−x* I) et P(A)−P(x)* I=(A−x* I)* Q(x)
En effet le polynôme à coefficients matriciels P(A)−P(x)* I est divisible par A−x* I car il s’annule pour x=A :
P(A)=0, on a donc P(A)−P(x)* I = −P(x)* I = (A−x* I)* Q(x).
Q(x) est donc la comatrice de A−x* I au signe près si n est pair, puisque :
(A−x* I)* Q(x)= −P(x)* I=(−1)n+1* det(A−x* I).
On a alors Q(x) = I* xn−1+...+B0 où B0= est la comatrice de A (au signe près si n est pair!) puisque Q(0)=B0 et A* Q(0)=(−1)n+1det(A).
On tape :

adjoint_matrix([[4,1,-2],[1,2,-1],[2,1,0]])

On obtient :

[[1,-6,12,-8],[[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]],[[-2,1,-2], [1,-4,-1],[2,1,-6]],[[1,-2,3],[-2,4,2],[-3,-2,7]]]]

Donc le polynôme caractéristique est :
x3−6*x2+12*x−8
Le déterminant de A est égal à −P(0) donc à 8
La comatrice de A est égale à Q(0) donc à :
[[1,−2,3],[−2,4,2],[−3,−2,7]]
L’inverse de A est donc :
1/8*[[1,−2,3],[−2,4,2],[−3,−2,7]]
La comatrice de A−x * I est donc :
[[x2−2x+1,x−2,−2x+3],[x−2,x2−4x+4,−x+2],[2x−3,x−2,x2−6x+7]]
On tape :

adjoint_matrix([[4,1],[1,2]])

On obtient :

[[1,-6,7],[[[1,0],[0,1]],[[-2,1],[1,-4]]]]

Donc le polynôme caractéristique est :
x2−6*x+7
Le déterminant de A est égal à +P(0) donc à 7
La comatrice de A est égale à Q(0) donc à :
−[[−2,1],[1,−4]].
L’inverse de A est donc :
−1/7*[[−2,1],[1,−4]].
La comatrice de A−x* I est donc :
−[[x−2,1],[1,x−4]].