### 6.33.1 Encadrement exact des racines complexes d’un polynôme : complexroot

complexroot a 2 ou 4 arguments : un polynôme et un nombre rèel є et éventuellement deux complexes α,β.

- Si complexroot a 2 arguments, complexroot renvoie la liste des intervalles complexes contenant la valeur des racines complexes et exactes du polynôme et leur multiplicité (par exemple i[1,1.1]+i[3.1,3.2]*i pour dire que le rectangle [1,1.1]x[3.1,3.2] contient une racine complexe du polynôme) et la multiplicité de cette racine.
  Si l’intervalle est [a1+ib1,a2+ib2] on a |a1−a2|<є et |b1−b2|<є et la racine a+ib vérifie a1≤ a ≤ a2 et b1≤ b ≤ b2.
- Si complexroot a 4 arguments, complexroot ne renvoie que les racines situées dans le rectangle de côtés parallèles aux axes et de sommets opposés α,β.

On tape pour avoir les racines de x3+1 :

complexroot(x`^`3+1,0.1)

On obtient :

[[i[-1.0000000000036,-0.99999999999633],1], [i[0.49999999999909,0.50000000000091] -i[0.86602540378354,0.86602540378536]*i,1],[i[0.49999999999909,0.50000000000091] +i[0.86602540378354,0.86602540378536]*i,1]]

Donc pour x3+1 :
-1 est une racine de multiplicité 1,
1/2i*b est une racine de multiplicité 1 avec −7/8≤ b ≤ −13/16,
1/2i*c est racine de multiplicité1 avec 13/1≤ c ≤ 7/8.
On tape pour avoir les racines de x3+1 dans le rectangle de sommets opposés −1,1+2*i :

complexroot(x`^`3+1,0.1,-1,1+2*i)

On obtient :

[[i[-1.0000000000036,-0.99999999999633],1], [i[0.49999999999909,0.50000000000091] +i[0.86602540378354,0.86602540378536]*i,1]]

On tape pour avoir les racines de x3+1 dans le rectangle de sommets opposés 0,1+2*i :

complexroot(x`^`3+1,0.1,0,1+2*i)

On obtient :

[[i[0.49999999999909,0.50000000000091] +i[0.86602540378354,0.86602540378536]*i,1]]