### 6.10.5 La fonction exponentielle integrale Ei : Ei

Ei a comme argument un nombre complexe a.
Ei calcule les valeurs de la fonction Ei au point a.
On a par définition :

Ei(x)= | ∫ |
x
t=−∞
exp(t)
t
| dt

Pour x>0, on prolonge par la valeur principale de l’intégrale (les morceaux en 0− et 0+ se compensent). On a :

Ei(0)=−∞, Ei(−∞)=0

Lorsque l’on est proche de x=0 on sait que :

exp(x)
x
| = |
1
x
| +1+ |
x
2!
| + |
x2
3!
| +...+ |
xn
(n−1)!
| ....

on a donc pour x∈ ℂ−ℝ+, (la fonction est discontinue sur ℝ+) :

Ei(x)=ln(−x)+γ + x+ |
x2
2.2!
| + |
x3
3.3!
| +...

où γ = la constante d’Euler = 0.57721566490..
sur l’axe x>0 on prend : Ei(x)=ln(x)+γ + x+x2/2.2!+x3/3.3!+...
On tape :

Ei(1.)

On obtient :

1.89511781636

On tape :

Ei(-1.)

On obtient :

-0.219383934396

On tape :

Ei(1.)-Ei(-1.)

On obtient :

2.11450175075

On tape :

int((exp(x)-1)/x,x=-1..1.)

On obtient :

2.11450175075

On tape :

evalf(Ei(-1)-sum((-1)`^`n/n/n!,n=1..100))

On obtient la constante d’Euler γ :

0.577215664901532860606507

Lorsque Ei a comme argument 2 nombres : a réel et b entier positif, on a :
Ei(a,1)=-Ei(-a)
Ei(a,2)=exp(-a)+a*Ei(-a) =exp(-a)-a*Ei(a,1)
Ei(a,3)=(exp(-a)-a*(exp(-a)+a*Ei(-a)))/2=(exp(-a)-a*Ei(a,2))/2
Ei(a,4)=(exp(-a)-a*(exp(-a)-a*(exp(-a)+a*Ei(-a)))/2)/3=(exp(-a)-a*Ei(a,3))/3
Ei(a,n)= (exp(-a)-a*Ei(a,n-1))/n-1 pour n entier ≥ 2
Donc :
Ei(a,1)=-Ei(-a) a*Ei(a,1)+Ei(a,2)=exp(-a) donc a*Ei(a,1)+Ei(a,2)=exp(−a)
a*Ei(a,2)+2*Ei(a,3)=exp(-a) donc a2*Ei(a,1)−2*Ei(a,3)=exp(−a)*(a−1)
a*Ei(a,3)+3*Ei(a,4)=exp(-a) donc a3*Ei(a,1)+3!*Ei(a,4)=exp(−a)*(a2−a+2) a*Ei(a,4)+4*Ei(a,4)=exp(-a) donc
a4*Ei(a,1)−4!*Ei(a,4)=exp(−a)*(a3−a2+2a−3!)
a5*Ei(a,1)+5!*Ei(a,4)=exp(−a)*(a4−a3+2a2−3!a+4!)
etc...