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# 初等变换

## 初等矩阵

以下三类方阵称为初等矩阵．

### 倍乘矩阵

倍乘矩阵是一种特殊的对角矩阵．

𝐷 𝑖(𝑘)=d i a g⁡{1,⋯,1,𝑘,1,⋯,1}D i(k)=diag⁡{1,⋯,1,k,1,⋯,1}

表示一个对角阵，主对角线上第 𝑖 i 个元素为 𝑘 k，并且规定 𝑘 k 不能为 0 0，其余的元素全部为 1 1．

特别地，当 𝑘 k 为 1 1 的时候，𝐷 𝑖(1)D i(1) 就是单位阵 𝐼 I．

### 对换矩阵

对换矩阵是一种特殊的对称矩阵．

𝑃 𝑖 𝑗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝐼 𝑖−1 0 1 𝐼 𝑗−𝑖−1 1 0 𝐼 𝑛−𝑗⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠P i j=(I i−1 0 1 I j−i−1 1 0 I n−j)

对换矩阵的元素全是 1 1 和 0 0，主对角线上其余元素均为 1 1，仅有第 𝑖 i 个元素和第 𝑗 j 个元素为 0 0，而在第 𝑖 i 行第 𝑗 j 列、第 𝑗 j 行第 𝑖 i 列上的两个元素为 1 1．

对换矩阵要求 𝑖 i 与 𝑗 j 不能相等．

### 倍加矩阵

倍加矩阵是在单位阵 𝐼 I 的基础上，令第 𝑖 i 行第 𝑗 j 列为 𝑘 k．

𝑇 𝑖 𝑗(𝑘)=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1⋱1⋯𝑘⋱⋮1⋱1⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠T i j(k)=(1⋱1⋯k⋱⋮1⋱1)

倍加矩阵要求 𝑖 i 与 𝑗 j 不能相等．如果 𝑘 k 为 0 0，则 𝑇 𝑖 𝑗(0)T i j(0) 退化为单位阵 𝐼 I．

倍加矩阵是一种上三角矩阵或者下三角矩阵．

### 初等矩阵的行列式

三种初等矩阵具有行列式：

|𝐷 𝑖(𝑘)|=𝑘|D i(k)|=k|𝑃 𝑖 𝑗|=−1|P i j|=−1|𝑇 𝑖 𝑗(𝑘)|=1|T i j(k)|=1

由于方阵乘法的行列式等于行列式的乘法，借助下文初等变换与矩阵乘法的等价性，初等矩阵的这个性质可以用于行列式的计算．

## 初等变换

不仅限于方阵，对于一般的矩阵 𝐴 A，可以进行初等行变换和初等列变换，统称为初等变换．

初等行变换与初等列变换一样，都有 3 种：倍乘（multiplication）、对换（switching）、倍加（addition）．这里先介绍初等行变换：

- 第 𝑖 i 行乘非零数 𝑘 k：𝐵 ↦𝐷 𝑖(𝑘)𝐵 B↦D i(k)B．
- 第 𝑖 i，𝑗 j 行互换：𝐵 ↦𝑃 𝑖 𝑗 𝐵 B↦P i j B．
- 第 𝑗 j 行乘 𝑘 k 加到第 𝑖 i 行：𝐵 ↦𝑇 𝑖 𝑗(𝑘)𝐵 B↦T i j(k)B．

将上述操作的行改为列，即得到初等列变换．

在初等变换中，对换可以通过倍乘和倍加实现．显然，倍加不能通过倍乘和对换实现．借助行列式的知识，以及下文的初等变换与矩阵乘法的等价性，也能说明倍乘不能通过倍加和对换实现．

因此，相较对换而言，倍乘和倍加是更为本质的操作．对换操作是为了在消元法中，保证消元的有序，而引入的辅助操作．

## 初等变换与矩阵乘法

可以发现，三类初等矩阵都是在单位阵 𝐼 I 上进行一次相应的变换得到的结果．在后文的线性变换中指出，线性变换与矩阵之间有对应关系，与这里的关系类似．

无论矩阵 𝐴 A 是否方阵，对矩阵 𝐴 A 进行初等行变换，等价于对矩阵 𝐴 A 左乘初等矩阵．对矩阵 𝐴 A 进行初等列变换，等价于对矩阵 𝐴 A 右乘初等矩阵．

### 倍乘操作

左乘一个倍乘矩阵 𝐷 𝑖(𝑘)D i(k)，等价于将第 𝑖 i 行变为 𝑘 k 倍．右乘一个倍乘矩阵 𝐷 𝑖(𝑘)D i(k)，等价于将第 𝑖 i 列变为 𝑘 k 倍．

对角阵乘对角阵还是对角阵，对于对角阵的乘法，将主对角线上对应的元素相乘．由于单位阵是特殊的倍乘阵，而倍乘阵要求 𝑘 k 不为 0 0，可以看出，只要对角阵主对角线上的元素均非 0 0，就可以拆分为倍乘阵的乘积．

对于一般的对角阵，无论元素是否为 0 0，也有相应的结论．左乘对角阵，等价于将对应的行变为原来的若干倍，倍数恰为对角阵主对角线上的相应元素．右乘对角阵，是对相应的列进行同样操作．

由于倍乘矩阵 𝐷 𝑖(𝑘)D i(k) 的行列式为 𝑘 k，对于方阵的行或列进行倍乘操作之后，方阵对应的行列式变为原来的 𝑘 k 倍．对角阵的行列式为主对角线元素的乘积．

倍乘矩阵的乘法可以交换，对角阵的乘法也可以交换，在乘法只有对角阵时，顺序可以任意排列．

单位阵对应的倍乘操作为保持矩阵 𝐴 A 不变，在实际应用中不进行这样的操作．

### 对换操作

左乘一个对换矩阵 𝑃 𝑖 𝑗 P i j，等价于将第 𝑖 i 行与第 𝑗 j 行交换．右乘一个对换矩阵 𝑃 𝑖 𝑗 P i j，等价于将第 𝑖 i 列与第 𝑗 j 列交换．

与倍乘阵和对角阵的关系类似，这里引入置换矩阵的概念．置换矩阵是一个方阵，每行每列均恰有一个 1 1，其余位置均为 0 0．单位阵 𝐼 I 也是特殊的置换矩阵．

置换阵和对于单位阵 𝐼 I 的行进行置换操作一致，也和对于单位阵 𝐼 I 的列进行置换操作一致．单位阵 𝐼 I 本身对应于恒等变换．

左乘一个置换矩阵等价于对原矩阵的行进行置换，右乘一个置换矩阵等价于对原矩阵的列进行置换，相应置换的方法和对于单位阵 𝐼 I 的行或列进行置换操作一致．

置换矩阵与置换完全对应，置换矩阵构成的乘法群与置换群同构．由于有定理，在恒等变换视为零个对换的乘积的情形下，任何置换都可以拆为对换的乘积，因此任何置换矩阵也可以拆分为对换矩阵的乘积．

由于对换矩阵的行列式为 −1−1，对于方阵的行或列进行对换操作之后，方阵对应的行列式变为原来的 −1−1 倍．

对换阵的乘法不可交换，置换阵的乘法也不可交换．

置换矩阵的行列式为 (−1)𝑝(−1)p，其中 𝑝 p 为置换矩阵对应置换的逆序数，即置换拆分为对换乘积的个数．

### 倍加操作

左乘倍加矩阵 𝑇 𝑖 𝑗(𝑘)T i j(k) 等价于把第 𝑗 j 行的 𝑘 k 倍加到第 𝑖 i 行上．右乘倍加矩阵 𝑇 𝑖 𝑗(𝑘)T i j(k) 等价于把第 𝑖 i 列的 𝑘 k 倍加到第 𝑗 j 列上．

如果难以记忆，可以观察倍加阵 𝑇 𝑖 𝑗(𝑘)T i j(k) 是对单位阵 𝐼 I 进行了怎样的操作，两者是对应的，左乘是对行的操作，右乘是对列的操作，符合口诀左行右列．

由于倍加矩阵的行列式为 1 1，对于方阵进行倍加操作之后，方阵对应的行列式不变．

倍加矩阵的乘法不可交换．

单位阵对应的倍加操作为保持矩阵 𝐴 A 不变，在实际应用中不进行这样的操作．

#### 上三角矩阵

倍加矩阵是一种上三角矩阵或者下三角矩阵．由于两种矩阵关于主对角线对称，这里讨论上三角矩阵．事实上在这个例子中，只需要进行初等行变换，而不需要列变换．

如果一个上三角矩阵的主对角线均为 1 1，则可拆分为一连串倍加矩阵的乘积．拆分的顺序为，先对单位矩阵 𝐼 I 的第一行进行倍加操作，再对单位矩阵 𝐼 I 的第二行进行倍加操作，以此类推，直到每一行均被操作完毕为止．

由于倍加矩阵的乘法不可交换，上述操作不可调换顺序．

如果一个上三角矩阵的主对角线均非 0 0，则可拆分为一连串倍加矩阵和倍乘矩阵的乘积．可以在操作单位矩阵 𝐼 I 的每一行时，先将该行进行倍乘操作，效果为主对角线元素变为指定非零值．

如果一个上三角矩阵的主对角线存在 0 0，则不可拆分为一连串初等矩阵的乘积．

无论上三角矩阵的主对角线上是否有 0 0，上三角矩阵的行列式等于主对角线元素乘积，与对角阵一致．

#### 倍加操作将方阵转化为对角阵

只使用倍加操作可以使任意一个方阵变为对角阵，这个例子既需要初等行变换也需要初等列变换．

如果方阵的第一行和第一列存在非零元素，则可以通过倍加办法将左上角元素变为非零，进而借助初等行变换和初等列变换，将第一行和第一列除了左上角元素以外，均变为 0 0．

如果方阵的第一行和第一列已经均为 0 0，则直接看第二行和第二列即可．

借助这个办法，甚至可以规定对角阵的非零元素均在左上角．

如果方阵的第一行和第一列已经均为 0 0，则看剩余的行列是否有非零元素，只要有非零元素，则可以通过倍加操作将第一行和第一列中某个元素变为非 0 0，进而化归为一开始的情况，使得左上角元素非 0 0．

仅当剩余的行列也均没有非零元素时，左上角无法变为非零元素，此时剩余的方阵已经为零矩阵．

#### 标准形矩阵

借助初等变换可以将任意的矩阵，无论形状，化归为标准形矩阵．

标准形矩阵拥有一个单位阵 𝐼 I 作为子矩阵位于左上角，其余部分均为 0 0．化归的办法与将方阵转化为对角阵的操作类似，并需要借助倍乘操作使左上角非零元素变为 1 1．

矩阵转化为标准形矩阵后，含有元素 1 1 的个数恰好为矩阵的秩．

## 可逆矩阵

设 𝐴 A 是一个 𝑛 n 阶矩阵．如果存在一个 𝑛 n 阶矩阵 𝐵 B，使得 𝐴 𝐵 =𝐵 𝐴 =𝐼 A B=B A=I，那么 𝐴 A 叫做一个可逆矩阵或非奇异矩阵，𝐵 B 叫做 𝐴 A 的逆矩阵，并记为 𝐴−1 A−1．

如果矩阵 𝐴 A 可逆，那么 𝐴 A 的逆矩阵由 𝐴 A 唯一确定．

可逆矩阵 𝐴 A 的逆 𝐴−1 A−1 也可逆，并且 𝐴−1 A−1 的逆就是 𝐴 A．

两个可逆矩阵 𝐴 A 和 𝐵 B 的乘积 𝐴 𝐵 A B 也可逆，并且逆为 𝐵−1 𝐴−1 B−1 A−1．

可逆矩阵 𝐴 A 的转置 𝐴 𝑇 A T 也可逆，并且转置的逆等于逆的转置．

### 初等矩阵的逆

初等矩阵均可逆，并且逆为同类的初等矩阵：

𝐷 𝑖(𝑘)−1=𝐷 𝑖(1 𝑘)D i(k)−1=D i(1 k)𝑃−1 𝑖 𝑗=𝑃 𝑖 𝑗 P i j−1=P i j 𝑇 𝑖 𝑗(𝑘)−1=𝑇 𝑖 𝑗(−𝑘)T i j(k)−1=T i j(−k)

显然单位阵 𝐼 I 可逆，逆矩阵仍为 𝐼 I．

初等变换保持矩阵的可逆性，变换前后矩阵要么同时可逆，要么同时不可逆．

矩阵 𝐴 A 可逆，当且仅当矩阵 𝐴 A 可以写成初等矩阵的乘积，即可以通过初等变换变为单位阵 𝐼 I．

等到引入行列式之后可以知道：

矩阵 𝐴 A 可逆，当且仅当矩阵 𝐴 A 的秩为 𝑛 n，当且仅当矩阵 𝐴 A 的行列式非 0 0．

一种简单的记法为：记 𝐸 𝑖 𝑗 E i j 为第 𝑖 i 行第 𝑗 j 列的元素为 1 1、其余为零的 𝑛 ×𝑛 n×n 矩阵，那么

- 𝐷 𝑖(𝑘) =𝐼 𝑛 +(𝑘 −1)𝐸 𝑖 𝑖 D i(k)=I n+(k−1)E i i
- 𝑃 𝑖 𝑗 =𝐼 𝑛 −𝐸 𝑖 𝑖 −𝐸 𝑗 𝑗 +𝐸 𝑖 𝑗 +𝐸 𝑗 𝑖 P i j=I n−E i i−E j j+E i j+E j i
- 𝑇 𝑖 𝑗(𝑘) =𝐼 𝑛 +𝑘 𝐸 𝑖 𝑗 T i j(k)=I n+k E i j

这种记法也可以应用于它们的逆矩阵．

## 应用

### 线性方程组求解

对于一个线性方程组，未知数前的系数构成系数矩阵，如果在系数矩阵右端补上线性方程组的常数项则构成增广矩阵．

应用初等行变换，可以将线性方程组对应的增广矩阵先转化为行阶梯形矩阵，再转化为行最简形矩阵，进而完成线性方程组的求解．这个方法叫做消元法解线性方程组，后文的 Gauss–Jordan 消元，是按照一定的顺序进行的消元算法．

### 行列式计算

由于方阵乘积的行列式等于方阵行列式的乘积，初等矩阵的行列式便于计算，以及初等变换等价于初等矩阵的乘法，在行列式计算中也会使用初等变换．

由于按照一定的顺序进行初等变换更加便于程序书写，行列式计算也可以使用后文的 Gauss–Jordan 消元算法．

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