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# 对角化

## 特征子空间

矩阵 𝐴 A 的属于 𝜆 0 λ 0 的全部特征向量，再添上零向量，构成一个线性空间，称为矩阵 𝐴 A 的一个特征子空间，记为 𝐸(𝜆 0)E(λ 0)．它是齐次线性方程组：

(𝜆 0 𝐼−𝐴)𝑋=0(λ 0 I−A)X=0

的解空间．

对于特征子空间 𝐸(𝜆 𝑖) =𝑁(𝜆 𝑖 𝐼 −𝐴)E(λ i)=N(λ i I−A)，由亏加秩定理有：

𝑟(𝜆 𝑖 𝐼−𝐴)+d i m⁡𝑁(𝜆 𝑖 𝐼−𝐴)=𝑛 r(λ i I−A)+dim⁡N(λ i I−A)=n

因此，特征子空间 𝐸(𝜆 𝑖)E(λ i) 的维数为：

d i m⁡𝐸(𝜆 𝑖)=𝑛−𝑟(𝜆 𝑖 𝐼−𝐴)dim⁡E(λ i)=n−r(λ i I−A)

也称为 𝜆 𝑖 λ i 的 几何重数．

## 不变子空间

在研究线性变换 𝑇 T 的时候，常常希望选取空间 𝑉 V 的一个基，使得线性变换 𝑇 T 对于这个基的矩阵具有尽可能简单的形状．

设 𝑉 V 是数域 𝐹 F 上的线性空间，𝑊 W 是 𝑉 V 的一个子空间，𝑇 T 是 𝑉 V 上的一个线性变换．如果对于 𝑊 W 中任意的向量 𝑥 x，都有 𝑇(𝑥)T(x) 也在 𝑊 W 中（也称为空间在变换下不变或稳定），称 𝑊 W 是 𝑇 T 的一个不变子空间．

空间在变换下不变，并不是说坐标在变换下真的「不变」，有可能是进行了一个拉伸等变形，只是变形后还落在空间里．

- 线性空间 𝑉 V 的任意一个子空间都是数乘变换的不变子空间．
- 对于 𝑉 V 中任意的线性变换 𝑇 T，空间 𝑉 V 和零子空间都是 𝑇 T 的不变子空间，称为平凡不变子空间．
- 不变子空间的交与和也是不变子空间．

设 𝑊 W 是线性变换 𝑇 T 的一个不变子空间．只考虑 𝑇 T 在不变子空间 𝑊 W 上的作用，就得到子空间 𝑊 W 本身的线性变换，称为 𝑇 T 在子空间 𝑊 W 上的限制，记作 𝑇|𝑊 T|W．

对于 𝑉 V 中任意的线性变换 𝑇 T，像空间 𝑅(𝑇)R(T) 与核空间 𝑁(𝑇)N(T) 是 𝑇 T 的不变子空间．这两种情况的含义是，空间 𝑉 V 在变换前后，完成了自身的压缩（像空间），或者压缩到 0 0（核空间）．

对于 𝑉 V 中任意的线性变换 𝑇 T，𝑇 T 的特征子空间是 𝑇 T 的不变子空间．

## 准素分解

根据代数基本定理，最小多项式可以分解为：

𝑚 𝐴(𝜆)=(𝜆−𝜆 1)𝑟 1⋯(𝜆−𝜆 𝑆)𝑟 𝑆 m A(λ)=(λ−λ 1)r 1⋯(λ−λ S)r S

考虑最小多项式代入变元 𝜆 λ 为矩阵 𝐴 A 后，各个因式的核空间，构成矩阵 𝐴 A 的一系列不变子空间：

𝑊 𝑖=𝑁((𝜆 𝑖 𝐼−𝐴)𝑟 𝑖)W i=N((λ i I−A)r i)

定理：该不变子空间 𝑊 𝑖 W i 的维数，恰好为特征值 𝜆 𝑖 λ i 的代数重数．

回顾一下，代数重数是指特征多项式各个因式的次数，几何重数是指特征子空间 𝐸(𝜆 𝑖) =𝑁(𝜆 𝑖 𝐼 −𝐴)E(λ i)=N(λ i I−A) 的维数．这个不变子空间 𝑊 𝑖 W i 与特征子空间 𝐸(𝜆 𝑖)E(λ i)，两者都是矩阵的核空间，并且两个矩阵构成最小多项式 𝑟 𝑖 r i 次幂的关系．也就是说，特征子空间的维数是几何重数，「特征子空间」经过最小多项式 𝑟 𝑖 r i 次幂后到达一个「不变子空间」，不变子空间的维数到达了特征多项式的代数重数．

该定理其实是下面准素分解定理的推论．

记矩阵 𝐴 A 对应的线性变换 𝑇 T，在每个子空间 𝑊 𝑖 W i 上的限制 𝑇 𝑖 =𝑇|𝑊 𝑖 T i=T|W i．于是 𝑇 𝑖 T i 的最小多项式是 (𝑥 −𝜆 𝑖)𝑟 𝑖(x−λ i)r i．

定理：设 𝑉 V 是域 𝐹 F 上的线性空间，𝑇 T 是 𝑉 V 上的一个线性变换．那么空间 𝑉 V 可以关于线性变换 𝑇 T 进行准素分解，拆成若干不变子空间 𝑊 𝑖 W i 的直和．

𝑉=𝑊 1⊕𝑊 2⊕⋯⊕𝑊 𝑆 V=W 1⊕W 2⊕⋯⊕W S

这意味着，𝑇 T 在某组基下的矩阵是准对角阵：

d i a g⁡{𝐴 1,𝐴 2,⋯,𝐴 𝑆}diag⁡{A 1,A 2,⋯,A S}

其中，𝐴 𝑖 A i 是 𝑇 𝑖 T i 在对应基下的矩阵．

该定理表明，可以使用不变子空间简化线性变换的矩阵．

## 可对角化矩阵

对于 𝑛 n 阶方阵 𝐴 A，如果相似于一个对角阵，则称 𝐴 A 为可对角化矩阵，或称单纯矩阵．

- 对角阵的和、积、逆，如果存在，仍然是对角阵，其对角线上的元素就是它的特征值．
- 线性变换 𝑇 T 的矩阵为可对角化矩阵，等价于 𝑇 T 在某组基下的矩阵为对角阵．

定理：设矩阵 𝐴 A 的全部互异特征根为 𝜆 1,⋯,𝜆 𝑚 λ 1,⋯,λ m，则以下命题等价：

- 矩阵 𝐴 A 可对角化．
- 矩阵 𝐴 A 有 𝑛 n 个线性无关的特征向量．
- 以下公式成立：

d i m⁡𝐸(𝜆 1)+⋯+d i m⁡𝐸(𝜆 𝑚)=𝑛 dim⁡E(λ 1)+⋯+dim⁡E(λ m)=n

前文已经指出，特征多项式的分解式中特征值的次数称为代数重数，特征子空间的维数称为几何重数．这个定理也表明，矩阵 𝐴 A 可对角化，等价于 𝐴 A 的每个特征值 𝜆 λ 的代数重数都等于它的几何重数．

推论：如果 𝑛 n 阶方阵 𝐴 A 恰有 𝑛 n 个互异特征值，则它必可对角化．反之则不一定．

定理：矩阵 𝐴 A 可对角化当且仅当 𝐴 A 的最小多项式没有重根．

矩阵的相似也会保持特征向量之间的线性相关关系不变．

特征向量完全可能不是实数，也完全可能找不到 𝑛 n 个线性无关的特征向量．

对于重特征值而言，特征向量张成空间．为了描述这个空间，需要从其中选择代表．一般会选择线性无关的代表，代表的个数就是空间的维数．

选取代表时，常常将它们正交化与单位化．最终得到的就是一套单位正交的代表．

特征向量不一定正交，不同特征值的特征向量，可能无法正交．因此正交化只能对于重特征值的特征向量进行．但是单位化可以对任意特征向量进行．

## 幂零矩阵

设 𝑇 T 是空间 𝑉 V 的一个线性变换．如果存在一个正整数 𝑟 r，使得 𝑇 𝑟 T r 为零变换，称 𝑇 T 是空间 𝑉 V 的一个幂零变换．

对于某一个正整数 𝑟 r，满足条件 𝑁 𝑟 =0 N r=0 的矩阵称为幂零矩阵．

一般可以进一步假定 𝑟 r 是使 𝑇 𝑟 T r 为零变换的最小正整数，于是 𝑇 T 的最小多项式是 𝑥 𝑟 x r．于是存在一个向量 𝜉 0 ξ 0，使得：

- 𝑇 𝑟(𝜉 0)=0 T r(ξ 0)=0
- 𝑇 𝑟−1(𝜉 0)≠0 T r−1(ξ 0)≠0

### 循环子空间

定理：设 𝑇 T 是空间 𝑉 V 的一个线性变换，𝜉 ξ 是空间 𝑉 V 的一个向量．如果存在一个正整数 𝑠 s，使得：

- 𝑇 𝑠(𝜉)=0 T s(ξ)=0
- 𝑇 𝑠−1(𝜉)≠0 T s−1(ξ)≠0

那么向量 𝜉,𝑇(𝜉),⋯,𝑇 𝑠−1(𝜉)ξ,T(ξ),⋯,T s−1(ξ) 线性无关．

由这个定理可以给出一个定义：

设 𝑇 T 是空间 𝑉 V 的一个线性变换，𝑊 W 是 𝑉 V 的一个子空间．如果存在一个向量 𝜉 0 ξ 0 和一个正整数 𝑟 r，使得：

- 向量 𝜉 0,𝑇(𝜉 0),⋯,𝑇 𝑟−1(𝜉 0)ξ 0,T(ξ 0),⋯,T r−1(ξ 0) 构成 𝑊 W 的一个基．

- 如下等式成立：

  𝑇 𝑟(𝜉 0)=0 T r(ξ 0)=0

那么子空间 𝑊 W 称为关于 𝑇 T 的一个循环子空间，简称 𝑇 T 循环子空间．此时 𝜉 0 ξ 0 称为循环子空间 𝑊 W 的一个生成向量，向量 𝜉 0,𝑇(𝜉 0),⋯,𝑇 𝑟−1(𝜉 0)ξ 0,T(ξ 0),⋯,T r−1(ξ 0) 称为 𝑊 W 的一个循环基．

显然，一个 𝑇 T 循环子空间 𝑊 W 在 𝑇 T 作用下不变，并且对于循环子空间 𝑊 W 中的任意向量 𝜉 ξ，均有 𝑇 𝑟(𝜉) =0 T r(ξ)=0，这里 𝑟 r 为循环子空间的维数．

### 幂零 Jordan 块

如果空间 𝑊 W 是变换 𝑇 T 的循环子空间，那么 𝑇 T 在 𝑊 W 上的限制 𝑇|𝑊 T|W 是 𝑊 W 的一个幂零变换，并且 𝑇|𝑊 T|W 关于 𝑊 W 的倒序排列的循环基 𝑇 𝑟−1(𝜉 0),𝑇 𝑟−2(𝜉 0),⋯,𝜉 0 T r−1(ξ 0),T r−2(ξ 0),⋯,ξ 0 的矩阵是如下形状的 𝑟 r 阶上三角矩阵：

𝑁 𝑟=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝0 1 0⋯0 0 0 0 1⋯0 0 0 0 0⋯0 0⋮⋮⋮⋮⋮0 0 0⋯0 1 0 0 0⋯0 0⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠N r=(0 1 0⋯0 0 0 0 1⋯0 0 0 0 0⋯0 0⋮⋮⋮⋮⋮0 0 0⋯0 1 0 0 0⋯0 0)

矩阵 𝑁 𝑟 N r 称为一个 𝑟 r 阶幂零 Jordan 矩阵，或者 𝑟 r 阶幂零 Jordan 块．

设 𝑇 T 是 𝑛 n 维空间 𝑉 V 的一个幂零变换，把出现在 𝑉 V 关于 𝑇 T 的循环子空间的分解中，唯一确定的一组正整数 𝑟 1 ≥⋯ ≥𝑟 𝑆 r 1≥⋯≥r S 叫做 𝑇 T 的不变指数．

对于 𝑛 n 阶幂零矩阵 𝐴 A，𝐴 A 与一个上述形状的矩阵 𝑁 N 相似，也唯一确定一个正整数序列 𝑟 1 ≥⋯ ≥𝑟 𝑆 r 1≥⋯≥r S，称为矩阵 𝐴 A 的不变指数．

幂零阵虽然不能和对角阵相似，但是可以相似于这样的标准形式．在 Jordan 标准型，将相似对角化与幂零阵的标准形式，二者结合起来，给出一般的矩阵通过相似变换可以达到的标准形式．

### 一些定理

1. 设 𝑇 T 是空间 𝑉 V 的一个幂零变换，而

   ℎ(𝑥)=𝑎 0+𝑎 1 𝑥+⋯+𝑎 𝑚 𝑥 𝑚 h(x)=a 0+a 1 x+⋯+a m x m

   是一个多项式，那么当且仅当 𝑎 0 ≠0 a 0≠0 时，线性变换 ℎ(𝑇)h(T) 有逆变换．当 ℎ(𝑇)h(T) 可逆时，ℎ(𝑇)h(T) 的逆变换也是 𝑇 T 的一个多项式．

2. 设 𝑇 T 是空间 𝑉 V 的一个幂零变换，𝑊 W 是一个 𝑟 r 维 𝑇 T 循环子空间，𝜉 ξ 是 𝑊 W 中的向量．如果存在一个整数 𝑘 k，使得

   𝑇 𝑟−𝑘(𝜉)=0 T r−k(ξ)=0

   那么存在 𝑊 W 中的向量 𝜂 η，使得

   𝜉=𝑇 𝑘(𝜂)ξ=T k(η)

3. 设 𝑇 T 是 𝑛 n 维空间 𝑉 V 的一个幂零变换，𝑥 𝑟 x r 是 𝑇 T 的最小多项式，令 𝑊 1 W 1 是一个 𝑟 r 维 𝑇 T 循环子空间，那么存在 𝑊 1 W 1 的一个余子空间 𝑊 2 W 2，使得：

   𝑉=𝑊 1⊕𝑊 2 V=W 1⊕W 2

   并且 𝑊 2 W 2 也在 𝑇 T 作用下不变．

4. 设 𝑇 T 是 𝑛 n 维空间 𝑉 V 的一个幂零变换，那么 𝑉 V 可以分解为 𝑇 T 循环子空间的直和：

   𝑉=𝑊 1⊕𝑊 2⊕⋯⊕𝑊 𝑆 V=W 1⊕W 2⊕⋯⊕W S

5. 每一个 𝑛 n 阶幂零矩阵都与一个形如：

   𝑁=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝑁 𝑟 1 0 𝑁 𝑟 2⋯0 𝑁 𝑟 𝑆⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠N=(N r 1 0 N r 2⋯0 N r S)

   的矩阵相似，这里的每一个 𝑁 𝑟 𝑖 N r i 是一个 𝑟 𝑖 r i 阶幂零 Jordan 块．

6. 如果规定 𝑇 T 循环子空间 𝑊 𝑖 W i 按照维数 𝑟 𝑖 r i 降序排列 𝑟 1 ≥⋯ ≥𝑟 𝑆 r 1≥⋯≥r S，那么将 𝑉 V 分解为 𝑇 T 循环子空间的方法是由 𝑇 T 唯一确定的．

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