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# 内积和外积

本文介绍向量之间的简单运算．

在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题．由于历史原因，数学学科和物理学科关于「inner product」和「outer product」两个词汇有着五花八门的翻译．

在物理学科，一般翻译成「标积」和「矢积」，表示运算的结果为标量和矢量．高中数学课本上「数量积」和「向量积」也采用了这种意译的办法．

在数学学科，通常也可以翻译成「内积」和「外积」，是两个名词的直译．「点乘」和「叉乘」是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见．

在「点乘」运算中，经常省略运算的点符号，在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法，不写点符号．

## 内积

内积的概念 对于任意维数的向量都适用．

### 定义

内积有不同但等价的定义方法，下面介绍其中一些．

#### 几何定义

在 𝑛 n 维欧氏空间 𝐑 𝑛 R n 下，已知两个向量 𝒂,𝒃 a,b，它们的夹角为 𝜃 θ，那么：

𝒂⋅𝒃=|𝒂||𝒃|c o s⁡𝜃 a⋅b=|a||b|cos⁡θ

就是这两个向量的 内积，也叫 点积 或 数量积．其中称 |𝒃|c o s⁡𝜃|b|cos⁡θ 为 𝒃 b 在 𝒂 a 方向上的投影．内积的几何意义即为：内积 𝒂 ⋅𝒃 a⋅b 等于 𝒂 a 的模与 𝒃 b 在 𝒂 a 方向上的投影的乘积．

#### 代数定义

在 𝑛 n 维欧氏空间 𝐑 𝑛 R n 下，已知两个向量 𝒂 =(𝑎 1,𝑎 2,…,𝑎 𝑛),𝒃 =(𝑏 1,𝑏 2,…,𝑏 𝑛)a=(a 1,a 2,…,a n),b=(b 1,b 2,…,b n)，那么：

𝒂⋅𝒃=𝑛∑𝑖=1 𝑎 𝑖 𝑏 𝑖 a⋅b=∑i=1 n a i b i

就是这两个向量的 内积，也叫 点积 或 数量积．内积的几何定义与代数定义在欧氏空间下是等价的，而后者更方便使用．

在不引起混淆的情况下，内积的点号可以省略不写．如果在向量的右上角有上角标 2 2，表示向量与自身内积的简写，即 向量模长的平方，省略模长记号．该上角标 2 2 不可以理解为向量的平方，这是因为，向量内积的结果为标量，不存在除了 2 2 以外任何个数的向量的内积．同理，向量模长平方的平方，不可以简写为上角标 4 4，而是必须将上角标 2 2 的结果视为一个整体，以此类推．

### 性质

可以发现，内积得到的结果是一个标量，其特别之处在于，它是关于两个向量分别都线性的双线性运算．具体而言，内积满足：

(𝒂+𝒃)⋅𝒄=𝒂⋅𝒄+𝒃⋅𝒄 𝒂⋅(𝒃+𝒄)=𝒂⋅𝒃+𝒂⋅𝒄(𝜆 𝒂)⋅𝒃=𝜆(𝒂⋅𝒃)𝒂⋅(𝜆 𝒃)=𝜆(𝒂⋅𝒃)(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c(λ a)⋅b=λ(a⋅b)a⋅(λ b)=λ(a⋅b)

内积还满足交换律，即：

𝒂⋅𝒃=𝒃⋅𝒂 a⋅b=b⋅a

### 应用

下面介绍内积运算的一些常见应用．

1. 判定两向量垂直：

   𝒂⟂𝒃⟺𝒂⋅𝒃=0 a⟂b⟺a⋅b=0

   即互相垂直的两个向量的内积，结果为 0 0；向量与零向量内积，结果为 0 0．如果使用内积为零作为垂直的定义，则可以得出零向量与任何向量都垂直．

2. 判定两向量共线：

   ∃𝜆∈𝐑(𝒂=𝜆 𝒃)⟺|𝒂⋅𝒃|=|𝒂||𝒃|∃λ∈R(a=λ b)⟺|a⋅b|=|a||b|

3. 计算向量的模：

   |𝒂|=√𝒂⋅𝒂|a|=a⋅a

4. 计算两向量的夹角：

   𝜃=a r c c o s⁡𝒂⋅𝒃|𝒂||𝒃|θ=arccos⁡a⋅b|a||b|

## 二阶与三阶行列式

二阶与三阶行列式，可以作为行列式的较为简单的情形特殊定义．在微积分的最后一个部分场论部分，格林公式用到了二阶行列式，高斯公式用到了点乘，斯托克斯公式用到了三阶行列式．

二阶行列式可以视为四元函数，其定义为：

∣𝑎 𝑏 𝑐 𝑑∣=𝑎 𝑑−𝑏 𝑐|a b c d|=a d−b c

三阶行列式可以视为九元函数，其定义为：

∣𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖∣=𝑎 𝑒 𝑖+𝑑 ℎ 𝑐+𝑔 𝑏 𝑓−𝑎 ℎ 𝑓−𝑑 𝑏 𝑖−𝑔 𝑒 𝑐|a b c d e f g h i|=a e i+d h c+g b f−a h f−d b i−g e c

一种特殊的记忆方法是采用「对角线法则」，对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．

特别注意：四阶行列式展开后共有 24 项，并且副对角线一项的符号为正．如果强行应用三阶行列式的「对角线法则」，不仅项数不够，副对角线一项的符号也不正确，因此三阶行列式的「对角线法则」不适用于更高阶的行列式，更高阶的行列式也不适合使用直接展开法计算．

## 外积

外积是 三维向量特有的运算．

在物理学中，三维向量为默认与空间位置相关的向量，一律采用粗体表示．然而，物理学中与相对论相关的四维向量不会采用粗体，而是使用特殊的记号与下标．

在线性代数中，所有的向量都会用粗体表示，并且由于麻烦，并且线性代数中大多为向量与矩阵的运算，很难造成歧义，在手写时可以省略向量记号不写．

### 定义

外积有不同但等价的定义方法，下面介绍其中一些．

#### 几何定义

在三维欧氏空间 𝐑 3 R 3 下，定义向量 𝒂,𝒃 a,b 的外积为一个向量，记为 𝒂 ×𝒃 a×b，其模与方向定义如下：

1. |𝒂 ×𝒃| =|𝒂||𝒃|s i n⁡⟨𝒂,𝒃⟩|a×b|=|a||b|sin⁡⟨a,b⟩；
2. 𝒂 ×𝒃 a×b 与 𝒂,𝒃 a,b 都垂直，且 𝒂,𝒃,𝒂 ×𝒃 a,b,a×b 的方向符合右手法则．

注意到外积的模，联想到三角形面积计算公式 𝑆 =1 2 𝑎 𝑏 s i n⁡𝐶 S=1 2 a b sin⁡C，可以发现外积的几何意义是：|𝒂 ×𝒃||a×b| 是以 𝒂,𝒃 a,b 为邻边的平行四边形的面积．

#### 代数定义

在三维欧氏空间 𝐑 3 R 3 下，定义向量 𝒂 =(𝑥 1,𝑦 1,𝑧 1),𝒃 =(𝑥 2,𝑦 2,𝑧 2)a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2) 的外积为一个向量 𝒄 c，记作 𝒄 =𝒂 ×𝒃 c=a×b，其结果可以使用三阶行列式表示：

∣𝒊 𝒋 𝒌 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2∣|i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2|

其中 𝒊,𝒋,𝒌 i,j,k 表示朝向为坐标轴 𝑥,𝑦,𝑧 x,y,z 的单位向量，并写在对应坐标处．展开得

𝒄=𝒂×𝒃=(𝑦 1 𝑧 2−𝑦 2 𝑧 1)𝒊+(𝑧 1 𝑥 2−𝑧 2 𝑥 1)𝒋+(𝑥 1 𝑦 2−𝑥 2 𝑦 1)𝒌=(𝑦 1 𝑧 2−𝑦 2 𝑧 1,𝑧 1 𝑥 2−𝑧 2 𝑥 1,𝑥 1 𝑦 2−𝑥 2 𝑦 1)c=a×b=(y 1 z 2−y 2 z 1)i+(z 1 x 2−z 2 x 1)j+(x 1 y 2−x 2 y 1)k=(y 1 z 2−y 2 z 1,z 1 x 2−z 2 x 1,x 1 y 2−x 2 y 1)

### 性质

1. 外积是关于两个向量分别都线性的双线性运算．具体而言，外积满足：

   (𝒂+𝒃)×𝒄=𝒂×𝒄+𝒃×𝒄 𝒂×(𝒃+𝒄)=𝒂×𝒃+𝒂×𝒄(𝜆 𝒂)×𝒃=𝜆(𝒂×𝒃)𝒂×(𝜆 𝒃)=𝜆(𝒂×𝒃)(a+b)×c=a×c+b×c a×(b+c)=a×b+a×c(λ a)×b=λ(a×b)a×(λ b)=λ(a×b)

   前两行性质亦可称为分配律，即外积对于向量加法满足乘法分配律．

2. 外积满足反交换律，即：

   𝒂×𝒃=−𝒃×𝒂 a×b=−b×a

3. 根据上文内积与外积的几何定义：

   |𝒂×𝒃|=|𝒂||𝒃|s i n⁡⟨𝒂,𝒃⟩𝒂⋅𝒃=|𝒂||𝒃|c o s⁡𝜃=|𝒂||𝒃|c o s⁡⟨𝒂,𝒃⟩|a×b|=|a||b|sin⁡⟨a,b⟩a⋅b=|a||b|cos⁡θ=|a||b|cos⁡⟨a,b⟩

   可以写出恒等式：

   (𝒂×𝒃)⋅(𝒂×𝒃)=|𝒂|2|𝒃|2−(𝒂⋅𝒃)2(a×b)⋅(a×b)=|a|2|b|2−(a⋅b)2

4. 外积满足 Jacobi 恒等式：

   𝒂×(𝒃×𝒄)+𝒃×(𝒄×𝒂)+𝒄×(𝒂×𝒃)=𝟎 a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0

### 应用

下面介绍外积运算的一些常见应用．

1. 判定两向量是否共线：

   ∃𝜆∈𝐑(𝒂=𝜆 𝒃)⟺𝒂×𝒃=𝟎∃λ∈R(a=λ b)⟺a×b=0

   即共线的两个三维向量的外积，结果为 𝟎 0；三维向量与自身外积，结果为 𝟎 0；三维向量与零向量外积，结果为 𝟎 0．若使用外积为零作为两向量共线的定义，则可以得出零向量与任何向量都共线．

2. 计算两向量张成的平行四边形面积：

   𝑆⟨𝒂,𝒃⟩=|𝒂×𝒃|S⟨a,b⟩=|a×b|

#### 二维向量的情形

对于二维向量，无法计算外积，但是仍然可以计算两向量张成的平行四边形面积：

记 𝒂 =(𝑚,𝑛),𝒃 =(𝑝,𝑞)a=(m,n),b=(p,q)，将平面直角坐标系扩充为空间直角坐标系，原平面位于新坐标系的 𝑥 𝑂 𝑦 x O y 平面，原本的坐标 (𝑚,𝑛)(m,n) 和 (𝑝,𝑞)(p,q) 变为 (𝑚,𝑛,0)(m,n,0) 和 (𝑝,𝑞,0)(p,q,0)．

那么两个向量的外积为 (0,0,𝑚 𝑞 −𝑛 𝑝)(0,0,m q−n p)，因此平行四边形的面积为 |𝑚 𝑞 −𝑛 𝑝||m q−n p|，可以视为二阶行列式运算结果的绝对值．

此时，根据右手法则和 𝑧 z 坐标的符号，可以推断出 𝒃 b 相对于 𝒂 a 的方向，若在逆时针方向则 𝑧 z 坐标为正值，反之为负值，简记为 顺负逆正．

## 混合积

与外积一样，向量的混合积是 三维向量特有的运算．

### 定义

设 𝒂,𝒃,𝒄 a,b,c 是三维空间中的三个向量，则 (𝒂 ×𝒃) ⋅𝒄(a×b)⋅c 称为三个向量 𝒂,𝒃,𝒄 a,b,c 的混合积，记作 [𝒂 𝒃 𝒄][a b c] 或 (𝒂,𝒃,𝒄)(a,b,c) 或 (𝒂 𝒃 𝒄)(a b c) 或 d e t⁡(𝒂,𝒃,𝒄)det⁡(a,b,c)．混合积的绝对值 |(𝒂 ×𝒃) ⋅𝒄||(a×b)⋅c| 的几何意义表示以 𝒂,𝒃,𝒄 a,b,c 为棱的平行六面体的体积．

向量的混合积可以使用三阶行列式表示：

(𝒂×𝒃)⋅𝒄=d e t⁡(𝒂,𝒃,𝒄)=∣𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 𝑐 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑦 𝑐 𝑦 𝑎 𝑧 𝑏 𝑧 𝑐 𝑧∣=𝑎 𝑥 𝑏 𝑦 𝑐 𝑧+𝑎 𝑦 𝑏 𝑧 𝑐 𝑥+𝑎 𝑧 𝑏 𝑥 𝑐 𝑦−𝑎 𝑧 𝑏 𝑦 𝑐 𝑥−𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 𝑐 𝑧−𝑎 𝑥 𝑏 𝑧 𝑐 𝑦(a×b)⋅c=det⁡(a,b,c)=|a x b x c x a y b y c y a z b z c z|=a x b y c z+a y b z c x+a z b x c y−a z b y c x−a y b x c z−a x b z c y

### 性质

1. 混合积关于三个向量都分别线性，具体而言，有：

   d e t⁡(𝜆 𝒖+𝜇 𝒗,𝒃,𝒄)=𝜆 d e t⁡(𝒖,𝒃,𝒄)+𝜇 d e t⁡(𝒗,𝒃,𝒄)d e t⁡(𝒂,𝜆 𝒖+𝜇 𝒗,𝒄)=𝜆 d e t⁡(𝒂,𝒖,𝒄)+𝜇 d e t⁡(𝒂,𝒗,𝒄)d e t⁡(𝒂,𝒃,𝜆 𝒖+𝜇 𝒗)=𝜆 d e t⁡(𝒂,𝒃,𝒖)+𝜇 d e t⁡(𝒂,𝒃,𝒗)det⁡(λ u+μ v,b,c)=λ det⁡(u,b,c)+μ det⁡(v,b,c)det⁡(a,λ u+μ v,c)=λ det⁡(a,u,c)+μ det⁡(a,v,c)det⁡(a,b,λ u+μ v)=λ det⁡(a,b,u)+μ det⁡(a,b,v)

2. 混合积具有反对称性，交换两个向量的位置会使混合积变成其相反数，因此有：

   d e t⁡(𝒂,𝒃,𝒄)=d e t⁡(𝒃,𝒄,𝒂)=d e t⁡(𝒄,𝒂,𝒃)=−d e t⁡(𝒃,𝒂,𝒄)=−d e t⁡(𝒂,𝒄,𝒃)=−d e t⁡(𝒄,𝒃,𝒂)det⁡(a,b,c)=det⁡(b,c,a)=det⁡(c,a,b)=−det⁡(b,a,c)=−det⁡(a,c,b)=−det⁡(c,b,a)

   据此还可以得到内积与外积有如下关系：

   (𝒂×𝒃)⋅𝒄=𝒂⋅(𝒃×𝒄)(a×b)⋅c=a⋅(b×c)

### 应用

向量的混合积有如下常见应用．

1. 计算四面体 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 A B C D 的体积：

   𝑉=1 6∣d e t⁡(⟶𝐴 𝐵,⟶𝐴 𝐶,⟶𝐴 𝐷)∣V=1 6|det⁡(A B→,A C→,A D→)|

2. 判定 𝒂,𝒃,𝒄 a,b,c 是否共面；

   三个三维向量 𝒂,𝒃,𝒄 a,b,c 共面的充分必要条件是 d e t⁡(𝒂,𝒃,𝒄) =0 det⁡(a,b,c)=0．

3. 判定 𝒂,𝒃,𝒄 a,b,c 构成的坐标系的手性；

   混合积 d e t⁡(𝒂,𝒃,𝒄)det⁡(a,b,c) 的符号是正还是负，取决于 𝒂 ×𝒃 a×b 与 𝒄 c 形成的夹角是锐角还是钝角，即指向 𝒂 a 与 𝒃 b 张成平面的同侧还是异侧，这相当于 𝒂,𝒃,𝒄 a,b,c 三个向量依序构成右手系还是左手系．具体而言：

   - d e t⁡(𝒂,𝒃,𝒄) <0 det⁡(a,b,c)<0 等价于 𝒂,𝒃,𝒄 a,b,c 依序构成左手系；
   - d e t⁡(𝒂,𝒃,𝒄) >0 det⁡(a,b,c)>0 等价于 𝒂,𝒃,𝒄 a,b,c 依序构成右手系．

## 二重外积

三维向量的混合积是内积与外积的混搭，具有轮换对称性．三维向量和三维向量的外积还是三维向量，那么外积的外积是否存在相关结论？

先证明一个引理．

(𝒂×𝒃)×𝒂=(𝒂⋅𝒂)𝒃−(𝒂⋅𝒃)𝒂(a×b)×a=(a⋅a)b−(a⋅b)a

证明：由右手定则，𝒂 ×𝒃 a×b 与 𝒂 a 和 𝒃 b 都垂直，待证等式左端与 𝒂 ×𝒃 a×b 垂直，因此待证等式左端与 𝒂 a 和 𝒃 b 共面．

因此可以假设：

(𝒂×𝒃)×𝒂=𝜆 𝒂+𝜇 𝒃(a×b)×a=λ a+μ b

根据混合积的相关结论，上式两端同时对于 𝒂 a 和 𝒃 b 分别做内积，有：

𝜆(𝒂⋅𝒂)+𝜇(𝒂⋅𝒃)=0 𝜆(𝒂⋅𝒃)+𝜇(𝒃⋅𝒃)=d e t⁡(𝒃,𝒂×𝒃,𝒂)=(𝒂×𝒃)⋅(𝒂×𝒃)λ(a⋅a)+μ(a⋅b)=0 λ(a⋅b)+μ(b⋅b)=det⁡(b,a×b,a)=(a×b)⋅(a×b)

由前文推出的恒等式：

(𝒂×𝒃)⋅(𝒂×𝒃)=|𝒂|2|𝒃|2−(𝒂⋅𝒃)2(a×b)⋅(a×b)=|a|2|b|2−(a⋅b)2

可以解得：

𝜆=−𝒂⋅𝒃 𝜇=𝒂⋅𝒂 λ=−a⋅b μ=a⋅a

证毕．

在上文的证明中提到，𝒂 ×𝒃 a×b 与任意向量叉乘，得到的向量与 𝒂 a 和 𝒃 b 共面．接下来证明 二重外积 的结论：

(𝒂×𝒃)×𝒄=(𝒂⋅𝒄)𝒃−(𝒃⋅𝒄)𝒂(a×b)×c=(a⋅c)b−(b⋅c)a

上述共面性有助于二重外积结论的记忆．可见，上文的引理为二重外积的特殊情况．

证明：这里只需考虑三个向量均为非零且不共线的情况，其他特例为显然的．

三维向量 𝒂 a，𝒃 b 和 𝒂 ×𝒃 a×b 不共面，因此可以假设：

𝒄=𝛼 𝒂+𝛽 𝒃+𝛾(𝒂×𝒃)c=α a+β b+γ(a×b)

所以有：

(𝒂×𝒃)×𝒄=(𝒂×𝒃)×(𝛼 𝒂+𝛽 𝒃+𝛾(𝒂×𝒃))=𝛼(𝒂×𝒃)×𝒂+𝛽(𝒂×𝒃)×𝒃(a×b)×c=(a×b)×(α a+β b+γ(a×b))=α(a×b)×a+β(a×b)×b

根据上文的引理有：

(𝒂×𝒃)×𝒂=(𝒂⋅𝒂)𝒃−(𝒂⋅𝒃)𝒂(𝒂×𝒃)×𝒃=−(𝒃×𝒂)×𝒃=−(𝒃⋅𝒃)𝒂+(𝒂⋅𝒃)𝒃(a×b)×a=(a⋅a)b−(a⋅b)a(a×b)×b=−(b×a)×b=−(b⋅b)a+(a⋅b)b

因此有：

(𝒂×𝒃)×𝒄=𝛼((𝒂⋅𝒂)𝒃−(𝒂⋅𝒃)𝒂)+𝛽((𝒂⋅𝒃)𝒃−(𝒃⋅𝒃)𝒂)=(𝛼(−𝒂⋅𝒃)+𝛽(−𝒃⋅𝒃))𝒂+(𝛼 𝒂⋅𝒂+𝛽 𝒂⋅𝒃)𝒃=(𝒂⋅𝒄)𝒃−(𝒃⋅𝒄)𝒂(a×b)×c=α((a⋅a)b−(a⋅b)a)+β((a⋅b)b−(b⋅b)a)=(α(−a⋅b)+β(−b⋅b))a+(α a⋅a+β a⋅b)b=(a⋅c)b−(b⋅c)a

证毕．

根据外积的反交换性，可以得到二重外积的两个公式：

(𝒂×𝒃)×𝒄=(𝒂⋅𝒄)𝒃−(𝒃⋅𝒄)𝒂 𝒂×(𝒃×𝒄)=(𝒂⋅𝒄)𝒃−(𝒂⋅𝒃)𝒄(a×b)×c=(a⋅c)b−(b⋅c)a a×(b×c)=(a⋅c)b−(a⋅b)c

可见，二重外积对于运算顺序有着严格的要求．

借助混合积与二重外积，还可以证明拉格朗日的恒等式．

(𝒂×𝒃)⋅(𝒄×𝒅)=(𝒂⋅𝒄)(𝒃⋅𝒅)−(𝒂⋅𝒅)(𝒃⋅𝒄)(a×b)⋅(c×d)=(a⋅c)(b⋅d)−(a⋅d)(b⋅c)

证明：

(𝒂×𝒃)⋅(𝒄×𝒅)=d e t⁡(𝒄,𝒅,𝒂×𝒃)=d e t⁡(𝒂×𝒃,𝒄,𝒅)=((𝒂×𝒃)×𝒄)⋅𝒅=(𝒃(𝒂⋅𝒄)−𝒂(𝒃⋅𝒄))⋅𝒅=(𝒂⋅𝒄)(𝒃⋅𝒅)−(𝒂⋅𝒅)(𝒃⋅𝒄)(a×b)⋅(c×d)=det⁡(c,d,a×b)=det⁡(a×b,c,d)=((a×b)×c)⋅d=(b(a⋅c)−a(b⋅c))⋅d=(a⋅c)(b⋅d)−(a⋅d)(b⋅c)

可见，前文的恒等式

(𝒂×𝒃)⋅(𝒂×𝒃)=|𝒂|2|𝒃|2−(𝒂⋅𝒃)2(a×b)⋅(a×b)=|a|2|b|2−(a⋅b)2

是拉格朗日的恒等式的特殊情形．

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