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# 基本概念

## 概述

在研究具体的随机现象时我们通常着重关注以下要素：

- 样本空间 Ω Ω，指明随机现象所有可能出现的结果．
- 事件域 F F，表示我们所关心的所有事件．
- 概率 𝑃 P，描述每一个事件发生的可能性大小．

## 样本空间、随机事件

### 定义

一个随机现象中可能发生的不能再细分的结果被称为 样本点．所有样本点的集合称为 样本空间，通常用 Ω Ω 来表示．

一个 随机事件 是样本空间 Ω Ω 的子集，它由若干样本点构成，用大写字母 𝐴,𝐵,𝐶,⋯A,B,C,⋯ 表示．

对于一个随机现象的结果 𝜔 ω 和一个随机事件 𝐴 A，我们称事件 𝐴 A 发生了 当且仅当 𝜔 ∈𝐴 ω∈A．

例如，掷一次骰子得到的点数是一个随机现象，其样本空间可以表示为 Ω ={1,2,3,4,5,6}Ω={1,2,3,4,5,6}．设随机事件 𝐴 A 为「获得的点数大于 4 4」，则 𝐴 ={5,6}A={5,6}．若某次掷骰子得到的点数 𝜔 =3 ω=3，由于 𝜔 ∉𝐴 ω∉A，故事件 𝐴 A 没有发生．

### 事件的运算

由于我们将随机事件定义为了样本空间 Ω Ω 的子集，故我们可以将集合的运算（如交、并、补等）移植到随机事件上．记号与集合运算保持一致．

特别的，事件的并 𝐴 ∪𝐵 A∪B 也可记作 𝐴 +𝐵 A+B，事件的交 𝐴 ∩𝐵 A∩B 也可记作 𝐴 𝐵 A B，此时也可分别称作 和事件 和 积事件．

## 事件域

研究具体的随机现象时我们需要明确哪些事件是我们感兴趣的．根据随机事件的定义，显然有 F ⊂2 Ω F⊂2 Ω（记号 2 Ω 2 Ω 表示 Ω Ω 的幂集），但 F =2 Ω F=2 Ω 却不是必须的．这在样本空间 Ω Ω 有限时可能有些难以理解，毕竟 2 Ω 2 Ω 尽管更大了但仍然有限．而当 Ω Ω 为无穷集时，2 Ω 2 Ω 的势变得更大，其中也难免会出现一些「性质不太好」且我们不关心的事件，这时为了兼顾这些事件而放弃一些性质就显得得不偿失了．

尽管 F =2 Ω F=2 Ω 不是必须的，这并不代表 2 Ω 2 Ω 的任一子集都能成为事件域．我们通常会对一些事件进行运算得到的结果事件的概率感兴趣，因此我们希望事件域 F F 满足下列条件：

- ∅ ∈F∅∈F；
- 若 𝐴 ∈F A∈F，则补事件 ¯𝐴 ∈F A¯∈F；
- 若有一列事件 𝐴 𝑛 ∈F,𝑛 =1,2,3…A n∈F,n=1,2,3…，则 ⋃𝐴 𝑛 ∈F⋃A n∈F．

简言之，就是事件域 F F 对在补运算、和可数并下是封闭的，且包含元素 ∅∅．

可以证明满足上述三个条件的事件域 F F 对可数交也是封闭的．

以掷骰子为例，当样本空间记为 Ω ={1,2,3,4,5,6}Ω={1,2,3,4,5,6} 时，以下两个集合能够成为事件域：

- F 1 ={∅,Ω}F 1={∅,Ω}
- F 2 ={∅,{1,3,5},{2,4,6},Ω}F 2={∅,{1,3,5},{2,4,6},Ω}

但以下两个集合则不能

- F 3 ={∅,{1},Ω}F 3={∅,{1},Ω}（对补不封闭）
- F 4 ={{1,3,5},{2,4,6}}F 4={{1,3,5},{2,4,6}}（不含有 ∅∅ 且对并不封闭）

## 概率

### 定义

#### 古典定义

在概率论早期实践中，由于涉及到的随机现象都比较简单，具体表现为样本空间 Ω Ω 是有限集，且直观上所有样本点是等可能出现的，因此人们便总结出了下述定义：

如果一个随机现象满足：

- 只有有限个基本结果；
- 每个基本结果出现的可能性是一样的；

那么对于每个事件 𝐴 A，定义它的概率为

𝑃(𝐴)=#(𝐴)#(Ω)P(A)=#(A)#(Ω)

其中 #( ⋅)#(⋅) 表示对随机事件（一个集合）大小的度量．

后来人们发现这一定义可以直接推广到 Ω Ω 无限的一部分情景中，于是就有了所谓 几何概型．

#### 公理化定义

上述基于直观认识的定义在逻辑上有一个很大的漏洞：在定义「概率」这一概念时用到了「可能性」这一说法，产生了循环定义的问题．同时「等可能」在样本空间无限时会产生歧义，由此产生了包括 Bertrand 悖论 在内的一系列问题．

经过不断探索，苏联数学家柯尔莫哥洛夫于 1933 年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的公理化定义：

概率函数 𝑃 P 是一个从事件域 F F 到闭区间 [0,1][0,1] 的映射，且满足：

- 规范性：事件 Ω Ω 的概率值为 1 1，即 𝑃(Ω) =1 P(Ω)=1．
- 可数可加性：若一列事件 𝐴 1,𝐴 2,⋯A 1,A 2,⋯ 两两不交，则 𝑃(⋃𝑖≥1 𝐴 𝑖) =∑𝑖≥1 𝑃(𝐴 𝑖)P(⋃i≥1 A i)=∑i≥1 P(A i)．

### 概率函数的性质

对于任意随机事件 𝐴,𝐵 ∈F A,B∈F，有

- 单调性：若 𝐴 ⊂𝐵 A⊂B，则有 𝑃(𝐴) ≤𝑃(𝐵)P(A)≤P(B)．
- 容斥原理：𝑃(𝐴 +𝐵) =𝑃(𝐴) +𝑃(𝐵) −𝑃(𝐴 𝐵)P(A+B)=P(A)+P(B)−P(A B)．
- 𝑃(𝐴 −𝐵) =𝑃(𝐴) −𝑃(𝐴 𝐵)P(A−B)=P(A)−P(A B)，这里 𝐴 −𝐵 A−B 表示差集．

## 概率空间

我们在一开始提到，研究具体的随机现象时我们通常关注样本空间 Ω Ω、事件域 F F 以及概率函数 𝑃 P．我们将三元组 (Ω,F,𝑃)(Ω,F,P) 称为一个概率空间．

概率只有在确定的概率空间下讨论才有意义．我们前面提到的 Bertrand 悖论归根结底就是因对样本空间 Ω Ω 的定义不明确而产生的．

## 参考资料与注释

- 概率论（数学分支）_百度百科
- Probability - Wikipedia

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