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# 快速傅里叶变换

前置知识：复数．

本文将介绍一种算法，它支持在 𝑂(𝑛 l o g⁡𝑛)O(n log⁡n) 的时间内计算两个 𝑛 n 次多项式的乘法，比朴素的 𝑂(𝑛 2)O(n 2) 算法更高效．由于两个整数的乘法也可以被当作多项式乘法，因此这个算法也可以用来加速大整数的乘法计算．

## 引入

我们现在引入两个多项式 𝐴 A 和 𝐵 B：

𝐴=5 𝑥 2+3 𝑥+7 𝐵=7 𝑥 2+2 𝑥+1 A=5 x 2+3 x+7 B=7 x 2+2 x+1

两个多项式相乘的积 𝐶 =𝐴 ×𝐵 C=A×B，我们可以在 𝑂(𝑛 2)O(n 2) 的时间复杂度中解得（这里 𝑛 n 为 𝐴 A 或者 𝐵 B 多项式的次数）：

𝐶=𝐴×𝐵=3 5 𝑥 4+3 1 𝑥 3+6 0 𝑥 2+1 7 𝑥+7 C=A×B=35 x 4+31 x 3+60 x 2+17 x+7

很明显，多项式 𝐶 C 的系数 𝑐 𝑖 c i 满足 𝑐 𝑖 =∑𝑖 𝑗=0 𝑎 𝑗 𝑏 𝑖−𝑗 c i=∑j=0 i a j b i−j．而对于这种朴素算法而言，计算每一项的时间复杂度都为 𝑂(𝑛)O(n)，一共有 𝑂(𝑛)O(n) 项，那么时间复杂度为 𝑂(𝑛 2)O(n 2)．

能否加速使得它的时间复杂度降低呢？如果使用快速傅里叶变换的话，那么我们可以使得其复杂度降低到 𝑂(𝑛 l o g⁡𝑛)O(n log⁡n)．

## 傅里叶变换

傅里叶变换（Fourier Transform）是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号．许多波形可作为信号的成分，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分．

设 𝑓(𝑡)f(t) 是关于时间 𝑡 t 的函数，则傅里叶变换可以检测频率 𝜔 ω 的周期在 𝑓(𝑡)f(t) 出现的程度：

𝐹(𝜔)=𝔽[𝑓(𝑡)]=∫∞−∞𝑓(𝑡)e−i 𝜔 𝑡 𝑑 𝑡 F(ω)=F[f(t)]=∫−∞∞f(t)e−i ω t d t

它的逆变换是

𝑓(𝑡)=𝔽−1[𝐹(𝜔)]=1 2 𝜋∫∞−∞𝐹(𝜔)e i 𝜔 𝑡 𝑑 𝜔 f(t)=F−1[F(ω)]=1 2 π∫−∞∞F(ω)e i ω t d ω

逆变换的形式与正变换非常类似，分母 2 𝜋 2 π 恰好是指数函数的周期．

傅里叶变换相当于将时域的函数与周期为 2 𝜋 2 π 的复指数函数进行连续的内积．逆变换仍旧为一个内积．

傅里叶变换有相应的卷积定理，可以将时域的卷积转化为频域的乘积，也可以将频域的卷积转化为时域的乘积．

## 离散傅里叶变换

离散傅里叶变换（Discrete Fourier transform，DFT）是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其 DTFT（discrete-time Fourier transform）的频域采样．

傅里叶变换是积分形式的连续的函数内积，离散傅里叶变换是求和形式的内积．

设 {𝑥 𝑛}𝑁−1 𝑛=0{x n}n=0 N−1 是某一满足有限性条件的序列，它的离散傅里叶变换（DFT）为：

𝑋 𝑘=𝑁−1∑𝑛=0 𝑥 𝑛 e−i 2 𝜋 𝑁 𝑘 𝑛 X k=∑n=0 N−1 x n e−i 2 π N k n

其中 e e 是自然对数的底数，𝑖 i 是虚数单位．通常以符号 F F 表示这一变换，即

ˆ 𝑥=F 𝑥 x^=F x

类似于积分形式，它的 逆离散傅里叶变换（IDFT）为：

𝑥 𝑛=1 𝑁 𝑁−1∑𝑘=0 𝑋 𝑘 e i 2 𝜋 𝑁 𝑘 𝑛 x n=1 N∑k=0 N−1 X k e i 2 π N k n

可以记为：

𝑥=F−1 ˆ 𝑥 x=F−1 x^

实际上，DFT 和 IDFT 变换式中和式前面的归一化系数并不重要．在上面的定义中，DFT 和 IDFT 前的系数分别为 1 1 和 1 𝑁 1 N．有时我们会将这两个系数都改 1√𝑁 1 N．

离散傅里叶变换仍旧是时域到频域的变换．由于求和形式的特殊性，可以有其他的解释方法．

如果把序列 𝑥 𝑛 x n 看作多项式 𝑓(𝑥)f(x) 的 𝑥 𝑛 x n 项系数，则计算得到的 𝑋 𝑘 X k 恰好是多项式 𝑓(𝑥)f(x) 代入单位根 e−2 𝜋 i 𝑘 𝑁 e−2 π i k N 的点值 𝑓(e−2 𝜋 i 𝑘 𝑁)f(e−2 π i k N)．

这便构成了卷积定理的另一种解释办法，即对多项式进行特殊的求值操作．离散傅里叶变换恰好是多项式在单位根处进行求值．

例如计算：

(𝑛 3)+(𝑛 7)+(𝑛 1 1)+(𝑛 1 5)+…(n 3)+(n 7)+(n 11)+(n 15)+…

定义函数 𝑓(𝑥)f(x) 为：

𝑓(𝑥)=(1+𝑥)𝑛=(𝑛 0)𝑥 0+(𝑛 1)𝑥 1+(𝑛 2)𝑥 2+(𝑛 3)𝑥 3+…f(x)=(1+x)n=(n 0)x 0+(n 1)x 1+(n 2)x 2+(n 3)x 3+…

然后可以发现，代入四次单位根 𝑓(i)f(i) 得到这样的序列：

𝑓(i)=(1+i)𝑛=(𝑛 0)+(𝑛 1)i−(𝑛 2)−(𝑛 3)i+…f(i)=(1+i)n=(n 0)+(n 1)i−(n 2)−(n 3)i+…

于是下面的求和恰好可以把其余各项消掉：

𝑓(1)+i 𝑓(i)−𝑓(−1)−i 𝑓(−i)=4(𝑛 3)+4(𝑛 7)+4(𝑛 1 1)+4(𝑛 1 5)+…f(1)+i f(i)−f(−1)−i f(−i)=4(n 3)+4(n 7)+4(n 11)+4(n 15)+…

因此这道数学题的答案为：

(𝑛 3)+(𝑛 7)+(𝑛 1 1)+(𝑛 1 5)+…=2 𝑛+i(1+i)𝑛−i(1−i)𝑛 4(n 3)+(n 7)+(n 11)+(n 15)+…=2 n+i(1+i)n−i(1−i)n 4

这道数学题在单位根处求值，恰好构成离散傅里叶变换．

### 矩阵公式

由于离散傅立叶变换是一个 线性 算子，所以它可以用矩阵乘法来描述．在矩阵表示法中，离散傅立叶变换表示如下：

⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣𝑋 0 𝑋 1 𝑋 2⋮𝑋 𝑁−1⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1 1 1⋯1 1 𝛼 𝛼 2⋯𝛼 𝑁−1 1 𝛼 2 𝛼 4⋯𝛼 2(𝑁−1)⋮⋮⋮⋱⋮1 𝛼 𝑁−1 𝛼 2(𝑁−1)⋯𝛼(𝑁−1)(𝑁−1)⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣𝑥 0 𝑥 1 𝑥 2⋮𝑥 𝑁−1⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦[X 0 X 1 X 2⋮X N−1]=[1 1 1⋯1 1 α α 2⋯α N−1 1 α 2 α 4⋯α 2(N−1)⋮⋮⋮⋱⋮1 α N−1 α 2(N−1)⋯α(N−1)(N−1)][x 0 x 1 x 2⋮x N−1]

其中 𝛼 =e−i 2 𝜋 𝑁 α=e−i 2 π N．

## 快速傅里叶变换

FFT 是一种高效实现 DFT 的算法，称为快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）．它对傅里叶变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步．快速数论变换（NTT）是快速傅里叶变换（FFT）在数论基础上的实现．

在 1965 年，Cooley 和 Tukey 发表了快速傅里叶变换算法．事实上 FFT 早在这之前就被发现过了，但是在当时现代计算机并未问世，人们没有意识到 FFT 的重要性．一些调查者认为 FFT 是由 Runge 和 König 在 1924 年发现的．但事实上高斯早在 1805 年就发明了这个算法，但一直没有发表．

### 分治法实现

FFT 算法的基本思想是分治．就 DFT 来说，它分治地来求当 𝑥 =𝜔 𝑘 𝑛 x=ω n k 的时候 𝑓(𝑥)f(x) 的值．基 - 2 FFT 的分治思想体现在将多项式分为奇次项和偶次项处理．

举个例子，对于一共 8 8 项的多项式：

𝑓(𝑥)=𝑎 0+𝑎 1 𝑥+𝑎 2 𝑥 2+𝑎 3 𝑥 3+𝑎 4 𝑥 4+𝑎 5 𝑥 5+𝑎 6 𝑥 6+𝑎 7 𝑥 7 f(x)=a 0+a 1 x+a 2 x 2+a 3 x 3+a 4 x 4+a 5 x 5+a 6 x 6+a 7 x 7

按照次数的奇偶来分成两组，然后右边提出来一个 𝑥 x：

𝑓(𝑥)=(𝑎 0+𝑎 2 𝑥 2+𝑎 4 𝑥 4+𝑎 6 𝑥 6)+(𝑎 1 𝑥+𝑎 3 𝑥 3+𝑎 5 𝑥 5+𝑎 7 𝑥 7)=(𝑎 0+𝑎 2 𝑥 2+𝑎 4 𝑥 4+𝑎 6 𝑥 6)+𝑥(𝑎 1+𝑎 3 𝑥 2+𝑎 5 𝑥 4+𝑎 7 𝑥 6)f(x)=(a 0+a 2 x 2+a 4 x 4+a 6 x 6)+(a 1 x+a 3 x 3+a 5 x 5+a 7 x 7)=(a 0+a 2 x 2+a 4 x 4+a 6 x 6)+x(a 1+a 3 x 2+a 5 x 4+a 7 x 6)

分别用奇偶次次项数建立新的函数：

𝐺(𝑥)=𝑎 0+𝑎 2 𝑥+𝑎 4 𝑥 2+𝑎 6 𝑥 3 𝐻(𝑥)=𝑎 1+𝑎 3 𝑥+𝑎 5 𝑥 2+𝑎 7 𝑥 3 G(x)=a 0+a 2 x+a 4 x 2+a 6 x 3 H(x)=a 1+a 3 x+a 5 x 2+a 7 x 3

那么原来的 𝑓(𝑥)f(x) 用新函数表示为：

𝑓(𝑥)=𝐺(𝑥 2)+𝑥×𝐻(𝑥 2)f(x)=G(x 2)+x×H(x 2)

利用偶数次单位根的性质 𝜔 𝑖 𝑛 = −𝜔 𝑖+𝑛/2 𝑛 ω n i=−ω n i+n/2，和 𝐺(𝑥 2)G(x 2) 和 𝐻(𝑥 2)H(x 2) 是偶函数，我们知道在复平面上 𝜔 𝑖 𝑛 ω n i 和 𝜔 𝑖+𝑛/2 𝑛 ω n i+n/2 的 𝐺(𝑥 2)G(x 2) 的 𝐻(𝑥 2)H(x 2) 对应的值相同．得到：

𝑓(𝜔 𝑘 𝑛)=𝐺((𝜔 𝑘 𝑛)2)+𝜔 𝑘 𝑛×𝐻((𝜔 𝑘 𝑛)2)=𝐺(𝜔 2 𝑘 𝑛)+𝜔 𝑘 𝑛×𝐻(𝜔 2 𝑘 𝑛)=𝐺(𝜔 𝑘 𝑛/2)+𝜔 𝑘 𝑛×𝐻(𝜔 𝑘 𝑛/2)f(ω n k)=G((ω n k)2)+ω n k×H((ω n k)2)=G(ω n 2 k)+ω n k×H(ω n 2 k)=G(ω n/2 k)+ω n k×H(ω n/2 k)

和：

𝑓(𝜔 𝑘+𝑛/2 𝑛)=𝐺(𝜔 2 𝑘+𝑛 𝑛)+𝜔 𝑘+𝑛/2 𝑛×𝐻(𝜔 2 𝑘+𝑛 𝑛)=𝐺(𝜔 2 𝑘 𝑛)−𝜔 𝑘 𝑛×𝐻(𝜔 2 𝑘 𝑛)=𝐺(𝜔 𝑘 𝑛/2)−𝜔 𝑘 𝑛×𝐻(𝜔 𝑘 𝑛/2)f(ω n k+n/2)=G(ω n 2 k+n)+ω n k+n/2×H(ω n 2 k+n)=G(ω n 2 k)−ω n k×H(ω n 2 k)=G(ω n/2 k)−ω n k×H(ω n/2 k)

因此我们求出了 𝐺(𝜔 𝑘 𝑛/2)G(ω n/2 k) 和 𝐻(𝜔 𝑘 𝑛/2)H(ω n/2 k) 后，就可以同时求出 𝑓(𝜔 𝑘 𝑛)f(ω n k) 和 𝑓(𝜔 𝑘+𝑛/2 𝑛)f(ω n k+n/2)．于是对 𝐺 G 和 𝐻 H 分别递归 DFT 即可．

考虑到分治 DFT 能处理的多项式长度只能是 2 𝑚(𝑚 ∈𝐍∗)2 m(m∈N∗)，否则在分治的时候左右不一样长，右边就取不到系数了．所以要在第一次 DFT 之前就把序列向上补成长度为 2 𝑚(𝑚 ∈𝐍∗)2 m(m∈N∗)（高次系数补 0 0）、最高项次数为 2 𝑚 −1 2 m−1 的多项式．

在代入值的时候，因为要代入 𝑛 n 个不同值，所以我们代入 𝜔 0 𝑛,𝜔 1 𝑛,𝜔 2 𝑛,⋯,𝜔 𝑛−1 𝑛(𝑛 =2 𝑚(𝑚 ∈𝐍∗))ω n 0,ω n 1,ω n 2,⋯,ω n n−1(n=2 m(m∈N∗)) 一共 2 𝑚 2 m 个不同值．

代码实现方面，STL 提供了复数的模板，当然也可以手动实现．两者区别在于，使用 STL 的 `complex` 可以调用 `exp` 函数求出 𝜔 𝑛 ω n．但事实上使用欧拉公式得到的虚数来求 𝜔 𝑛 ω n 也是等价的．

以上就是 FFT 算法中 DFT 的介绍，它将一个多项式从系数表示法变成了点值表示法．

值的注意的是，因为是单位复根，所以说我们需要令 𝑛 n 项式的高位补为零，使得 𝑛 =2 𝑘,𝑘 ∈𝐍∗n=2 k,k∈N∗．

递归版 FFT

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    #include <cmath>
    #include <complex>

    using Comp = std::complex<double>;  // STL complex

    constexpr Comp I(0, 1);  // i
    constexpr int MAX_N = 1 << 20;

    Comp tmp[MAX_N];

    // rev=1, DFT; rev=-1, IDFT
    // 应用完本函数后需要注意归一化系数的处理
    void DFT(Comp* f, int n, int rev) {
      if (n == 1) return;
      for (int i = 0; i < n; ++i) tmp[i] = f[i];
      // 偶数放左边，奇数放右边
      for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (i & 1)
          f[n / 2 + i / 2] = tmp[i];
        else
          f[i / 2] = tmp[i];
      }
      Comp *g = f, *h = f + n / 2;
      // 递归 DFT
      DFT(g, n / 2, rev), DFT(h, n / 2, rev);
      // cur 是当前单位复根，对于 k = 0 而言，它对应的单位复根 omega^0_n = 1．
      // step 是两个单位复根的差，即满足 omega^k_n = step*omega^{k-1}*n，
      // 定义等价于 exp(I*(-2*M_PI/n*rev))
      Comp cur(1, 0), step(cos(2 * M_PI / n), sin(-2 * M_PI * rev / n));
      for (int k = 0; k < n / 2;
           ++k) {  // F(omega^k_n) = G(omega^k*{n/2}) + omega^k*n\*H(omega^k*{n/2})
        tmp[k] = g[k] + cur * h[k];
        // F(omega^{k+n/2}*n) = G(omega^k*{n/2}) - omega^k_n*H(omega^k\_{n/2})
        tmp[k + n / 2] = g[k] - cur * h[k];
        cur *= step;
      }
      for (int i = 0; i < n; ++i) f[i] = tmp[i];
    }

时间复杂度 𝑂(𝑛 l o g⁡𝑛)O(n log⁡n)．

### 倍增法实现

这个算法还可以从「分治」的角度继续优化．对于基 - 2 FFT，我们每一次都会把整个多项式的奇数次项和偶数次项系数分开，一直分到只剩下一个系数．但是，这个递归的过程需要更多的内存．因此，我们可以先「模仿递归」把这些系数在原数组中「拆分」，然后再「倍增」地去合并这些算出来的值．

对于「拆分」，可以使用位逆序置换实现．

对于「合并」，使用蝶形运算优化可以做到只用 𝑂(1)O(1) 的额外空间来完成．

#### 位逆序置换

以 8 8 项多项式为例，模拟拆分的过程：

- 初始序列为 {𝑥 0,𝑥 1,𝑥 2,𝑥 3,𝑥 4,𝑥 5,𝑥 6,𝑥 7}{x 0,x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7}
- 一次二分之后 {𝑥 0,𝑥 2,𝑥 4,𝑥 6},{𝑥 1,𝑥 3,𝑥 5,𝑥 7}{x 0,x 2,x 4,x 6},{x 1,x 3,x 5,x 7}
- 两次二分之后 {𝑥 0,𝑥 4}{𝑥 2,𝑥 6},{𝑥 1,𝑥 5},{𝑥 3,𝑥 7}{x 0,x 4}{x 2,x 6},{x 1,x 5},{x 3,x 7}
- 三次二分之后 {𝑥 0}{𝑥 4}{𝑥 2}{𝑥 6}{𝑥 1}{𝑥 5}{𝑥 3}{𝑥 7}{x 0}{x 4}{x 2}{x 6}{x 1}{x 5}{x 3}{x 7}

规律：其实就是原来的那个序列，每个数用二进制表示，然后把二进制翻转对称一下，就是最终那个位置的下标．比如 𝑥 1 x 1 是 001，翻转是 100，也就是 4，而且最后那个位置确实是 4．我们称这个变换为位逆序置换（bit-reversal permutation），证明留给读者自证．

根据它的定义，我们可以在 𝑂(𝑛)O(n) 的时间内求出每个数变换后的结果：

位逆序置换实现（𝑂(𝑛)O(n)）

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    /*
     * 进行 FFT 和 IFFT 前的反置变换
     * 位置 i 和 i 的二进制反转后的位置互换
     * len 必须为 2 的幂
     */
    void change(Complex y[], int len) {
      // 一开始 i 是 0...01，而 j 是 10...0，在二进制下相反对称．
      // 之后 i 逐渐加一，而 j 依然维持着和 i 相反对称，一直到 i = 1...11．
      for (int i = 1, j = len / 2, k; i < len - 1; i++) {
        // 交换互为小标反转的元素，i < j 保证交换一次
        if (i < j) swap(y[i], y[j]);
        // i 做正常的 + 1，j 做反转类型的 + 1，始终保持 i 和 j 是反转的．
        // 这里 k 代表了 0 出现的最高位．j 先减去高位的全为 1 的数字，
        // 直到遇到了 0，之后再加上即可．
        // 考虑 j 中比特位的翻转次数，最高位将会翻转 n 次，
        // 第二高位将会翻转 n/2 次，以此类推，所以时间复杂度为：
        // T(n) = n + n/2 + n/4 + ... = O(n)
        k = len / 2;
        while (j >= k) {
          j = j - k;
          k = k / 2;
        }
        j += k;
      }
    }

位逆序置换也可以 𝑂(𝑛)O(n) 从小到大递推实现，设 𝑙 𝑒 𝑛 =2 𝑘 l e n=2 k，其中 𝑘 k 表示二进制数的长度，设 𝑅(𝑥)R(x) 表示长度为 𝑘 k 的二进制数 𝑥 x 翻转后的数（高位补 0 0）．我们要求的是 𝑅(0),𝑅(1),⋯,𝑅(𝑛 −1)R(0),R(1),⋯,R(n−1)．

首先 𝑅(0) =0 R(0)=0．

我们从小到大求 𝑅(𝑥)R(x)．因此在求 𝑅(𝑥)R(x) 时，𝑅(⌊𝑥 2⌋)R(⌊x 2⌋) 的值是已知的．因此我们把 𝑥 x 右移一位（除以 2 2），然后翻转，再右移一位，就得到了 𝑥 x 除了（二进制）个位 之外其它位的翻转结果．

考虑个位的翻转结果：如果个位是 0 0，翻转之后最高位就是 0 0．如果个位是 1 1，则翻转后最高位是 1 1，因此还要加上 𝑙 𝑒 𝑛 2 =2 𝑘−1 l e n 2=2 k−1．综上

𝑅(𝑥)=⌊𝑅(⌊𝑥 2⌋)2⌋+(𝑥 m o d 2)×𝑙 𝑒 𝑛 2 R(x)=⌊R(⌊x 2⌋)2⌋+(x mod 2)×l e n 2

举个例子：设 𝑘 =5 k=5，𝑙 𝑒 𝑛 =(1 0 0 0 0 0)2 l e n=(100000)2．为了翻转 (1 1 0 0 1)2(11001)2：

1. 考虑 (1 1 0 0)2(1100)2，我们知道 𝑅((1 1 0 0)2) =𝑅((0 1 1 0 0)2) =(0 0 1 1 0)2 R((1100)2)=R((01100)2)=(00110)2，再右移一位就得到了 (0 0 0 1 1)2(00011)2．
2. 考虑个位，如果是 1 1，它就要翻转到数的最高位，即翻转数加上 (1 0 0 0 0)2 =2 𝑘−1(10000)2=2 k−1，如果是 0 0 则不用更改．

位逆序置换实现（𝑂(𝑛)O(n)）

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    // 同样需要保证 len 是 2 的幂
    // 记 rev[i] 为 i 翻转后的值
    void change(Complex y[], int len) {
      for (int i = 0; i < len; ++i) {
        rev[i] = rev[i >> 1] >> 1;
        if (i & 1) {  // 如果最后一位是 1，则翻转成 len/2
          rev[i] |= len >> 1;
        }
      }
      for (int i = 0; i < len; ++i) {
        if (i < rev[i]) {  // 保证每对数只翻转一次
          swap(y[i], y[rev[i]]);
        }
      }
      return;
    }

#### 蝶形运算优化

已知 𝐺(𝜔 𝑘 𝑛/2)G(ω n/2 k) 和 𝐻(𝜔 𝑘 𝑛/2)H(ω n/2 k) 后，需要使用下面两个式子求出 𝑓(𝜔 𝑘 𝑛)f(ω n k) 和 𝑓(𝜔 𝑘+𝑛/2 𝑛)f(ω n k+n/2)：

𝑓(𝜔 𝑘 𝑛)=𝐺(𝜔 𝑘 𝑛/2)+𝜔 𝑘 𝑛×𝐻(𝜔 𝑘 𝑛/2)𝑓(𝜔 𝑘+𝑛/2 𝑛)=𝐺(𝜔 𝑘 𝑛/2)−𝜔 𝑘 𝑛×𝐻(𝜔 𝑘 𝑛/2)f(ω n k)=G(ω n/2 k)+ω n k×H(ω n/2 k)f(ω n k+n/2)=G(ω n/2 k)−ω n k×H(ω n/2 k)

使用位逆序置换后，对于给定的 𝑛,𝑘 n,k：

- 𝐺(𝜔 𝑘 𝑛/2)G(ω n/2 k) 的值存储在数组下标为 𝑘 k 的位置，𝐻(𝜔 𝑘 𝑛/2)H(ω n/2 k) 的值存储在数组下标为 𝑘 +𝑛 2 k+n 2 的位置．
- 𝑓(𝜔 𝑘 𝑛)f(ω n k) 的值将存储在数组下标为 𝑘 k 的位置，𝑓(𝜔 𝑘+𝑛/2 𝑛)f(ω n k+n/2) 的值将存储在数组下标为 𝑘 +𝑛 2 k+n 2 的位置．

因此可以直接在数组下标为 𝑘 k 和 𝑘 +𝑛 2 k+n 2 的位置进行覆写，而不用开额外的数组保存值．此方法即称为 蝶形运算，或更准确的，基 - 2 蝶形运算．

再详细说明一下如何借助蝶形运算完成所有段长度为 𝑛 2 n 2 的合并操作：

1. 令段长度为 𝑠 =𝑛 2 s=n 2；
2. 同时枚举序列 {𝐺(𝜔 𝑘 𝑛/2)}{G(ω n/2 k)} 的左端点 𝑙 𝑔 =0,2 𝑠,4 𝑠,⋯,𝑁 −2 𝑠 l g=0,2 s,4 s,⋯,N−2 s 和序列 {𝐻(𝜔 𝑘 𝑛/2)}{H(ω n/2 k)} 的左端点 𝑙 ℎ =𝑠,3 𝑠,5 𝑠,⋯,𝑁 −𝑠 l h=s,3 s,5 s,⋯,N−s；
3. 合并两个段时，枚举 𝑘 =0,1,2,⋯,𝑠 −1 k=0,1,2,⋯,s−1，此时 𝐺(𝜔 𝑘 𝑛/2)G(ω n/2 k) 存储在数组下标为 𝑙 𝑔 +𝑘 l g+k 的位置，𝐻(𝜔 𝑘 𝑛/2)H(ω n/2 k) 存储在数组下标为 𝑙 ℎ +𝑘 l h+k 的位置；
4. 使用蝶形运算求出 𝑓(𝜔 𝑘 𝑛)f(ω n k) 和 𝑓(𝜔 𝑘+𝑛/2 𝑛)f(ω n k+n/2)，然后直接在原位置覆写．

## 快速傅里叶逆变换

傅里叶逆变换可以用傅里叶变换表示．对此我们有两种理解方式．

### 线性代数角度

IDFT（傅里叶反变换）的作用，是把目标多项式的点值形式转换成系数形式．而 DFT 本身是个线性变换，可以理解为将目标多项式当作向量，左乘一个矩阵得到变换后的向量，以模拟把单位复根代入多项式的过程：

⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣𝑦 0 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3⋮𝑦 𝑛−1⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1 1 1 1⋯1 1 𝜔 1 𝑛 𝜔 2 𝑛 𝜔 3 𝑛⋯𝜔 𝑛−1 𝑛 1 𝜔 2 𝑛 𝜔 4 𝑛 𝜔 6 𝑛⋯𝜔 2(𝑛−1)𝑛 1 𝜔 3 𝑛 𝜔 6 𝑛 𝜔 9 𝑛⋯𝜔 3(𝑛−1)𝑛⋮⋮⋮⋮⋱⋮1 𝜔 𝑛−1 𝑛 𝜔 2(𝑛−1)𝑛 𝜔 3(𝑛−1)𝑛⋯𝜔(𝑛−1)2 𝑛⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣𝑎 0 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3⋮𝑎 𝑛−1⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦[y 0 y 1 y 2 y 3⋮y n−1]=[1 1 1 1⋯1 1 ω n 1 ω n 2 ω n 3⋯ω n n−1 1 ω n 2 ω n 4 ω n 6⋯ω n 2(n−1)1 ω n 3 ω n 6 ω n 9⋯ω n 3(n−1)⋮⋮⋮⋮⋱⋮1 ω n n−1 ω n 2(n−1)ω n 3(n−1)⋯ω n(n−1)2][a 0 a 1 a 2 a 3⋮a n−1]

现在我们已经得到最左边的结果了，中间的 𝑥 x 值在目标多项式的点值表示中也是一一对应的，所以，根据矩阵的基础知识，我们只要在式子两边左乘中间那个大矩阵的逆矩阵就行了．

由于这个矩阵的元素非常特殊，它的逆矩阵也有特殊的性质，就是每一项 取倒数，再 除以变换的长度 𝑛 n，就能得到它的逆矩阵．

注意：傅里叶变换的长度，并不是多项式的长度，变换的长度应比乘积多项式的长度长．待相乘的多项式不够长，需要在高次项处补 0 0．

为了使计算的结果为原来的倒数，根据欧拉公式，可以得到

1 𝜔 𝑘=𝜔−1 𝑘=e−2 𝜋 i 𝑘=c o s⁡(2 𝜋 𝑘)+i s i n⁡(−2 𝜋 𝑘)1 ω k=ω k−1=e−2 π i k=cos⁡(2 π k)+i sin⁡(−2 π k)

因此我们可以尝试着把单位根 𝜔 𝑘 ω k 取成 e−2 𝜋 i 𝑘 e−2 π i k，这样我们的计算结果就会变成原来的倒数，之后唯一多的操作就只有再 除以它的长度 𝑛 n，而其它的操作过程与 DFT 是完全相同的．我们可以定义一个函数，在里面加一个参数 1 1 或者是 −1−1，然后把它乘到 𝜋 π 上．传入 1 1 就是 DFT，传入 −1−1 就是 IDFT．

### 单位复根周期性

利用单位复根的周期性同样可以理解 IDFT 与 DFT 之间的关系．

考虑原本的多项式是 𝑓(𝑥) =𝑎 0 +𝑎 1 𝑥 +𝑎 2 𝑥 2 +⋯ +𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 =∑𝑛−1 𝑖=0 𝑎 𝑖 𝑥 𝑖 f(x)=a 0+a 1 x+a 2 x 2+⋯+a n−1 x n−1=∑i=0 n−1 a i x i．而 IDFT 就是把你的点值表示还原为系数表示．

考虑 构造法．我们已知 𝑦 𝑖 =𝑓(𝜔 𝑖 𝑛),𝑖 ∈{0,1,⋯,𝑛 −1}y i=f(ω n i),i∈{0,1,⋯,n−1}，求 {𝑎 0,𝑎 1,⋯,𝑎 𝑛−1}{a 0,a 1,⋯,a n−1}．构造多项式如下

𝐴(𝑥)=𝑛−1∑𝑖=0 𝑦 𝑖 𝑥 𝑖 A(x)=∑i=0 n−1 y i x i

相当于把 {𝑦 0,𝑦 1,𝑦 2,⋯,𝑦 𝑛−1}{y 0,y 1,y 2,⋯,y n−1} 当做多项式 𝐴 A 的系数表示法．

这时我们有两种推导方式，这对应了两种实现方法．

#### 方法一

设 𝑏 𝑖 =𝜔−𝑖 𝑛 b i=ω n−i，则多项式 𝐴 A 在 𝑥 =𝑏 0,𝑏 1,⋯,𝑏 𝑛−1 x=b 0,b 1,⋯,b n−1 处的点值表示法为 {𝐴(𝑏 0),𝐴(𝑏 1),⋯,𝐴(𝑏 𝑛−1)}{A(b 0),A(b 1),⋯,A(b n−1)}．

对 𝐴(𝑥)A(x) 的定义式做一下变换，可以将 𝐴(𝑏 𝑘)A(b k) 表示为

𝐴(𝑏 𝑘)=𝑛−1∑𝑖=0 𝑓(𝜔 𝑖 𝑛)𝜔−𝑖 𝑘 𝑛=𝑛−1∑𝑖=0 𝜔−𝑖 𝑘 𝑛 𝑛−1∑𝑗=0 𝑎 𝑗(𝜔 𝑖 𝑛)𝑗=𝑛−1∑𝑖=0 𝑛−1∑𝑗=0 𝑎 𝑗 𝜔 𝑖(𝑗−𝑘)𝑛=𝑛−1∑𝑗=0 𝑎 𝑗 𝑛−1∑𝑖=0(𝜔 𝑗−𝑘 𝑛)𝑖 A(b k)=∑i=0 n−1 f(ω n i)ω n−i k=∑i=0 n−1 ω n−i k∑j=0 n−1 a j(ω n i)j=∑i=0 n−1∑j=0 n−1 a j ω n i(j−k)=∑j=0 n−1 a j∑i=0 n−1(ω n j−k)i

记 𝑆(𝜔 𝑎 𝑛) =∑𝑛−1 𝑖=0(𝜔 𝑎 𝑛)𝑖 S(ω n a)=∑i=0 n−1(ω n a)i．

当 𝑎 =0(m o d 𝑛)a=0(mod n) 时，𝑆(𝜔 𝑎 𝑛) =𝑛 S(ω n a)=n．

当 𝑎 ≠0(m o d 𝑛)a≠0(mod n) 时，我们错位相减

𝑆(𝜔 𝑎 𝑛)=𝑛−1∑𝑖=0(𝜔 𝑎 𝑛)𝑖 𝜔 𝑎 𝑛 𝑆(𝜔 𝑎 𝑛)=𝑛∑𝑖=1(𝜔 𝑎 𝑛)𝑖 𝑆(𝜔 𝑎 𝑛)=(𝜔 𝑎 𝑛)𝑛−(𝜔 𝑎 𝑛)0 𝜔 𝑎 𝑛−1=0 S(ω n a)=∑i=0 n−1(ω n a)i ω n a S(ω n a)=∑i=1 n(ω n a)i S(ω n a)=(ω n a)n−(ω n a)0 ω n a−1=0

也就是说

𝑆(𝜔 𝑎 𝑛)={𝑛,𝑎=0 0,𝑎≠0 S(ω n a)={n,a=0 0,a≠0

那么代回原式

𝐴(𝑏 𝑘)=𝑛−1∑𝑗=0 𝑎 𝑗 𝑆(𝜔 𝑗−𝑘 𝑛)=𝑎 𝑘⋅𝑛 A(b k)=∑j=0 n−1 a j S(ω n j−k)=a k⋅n

也就是说给定点 𝑏 𝑖 =𝜔−𝑖 𝑛 b i=ω n−i，则 𝐴 A 的点值表示法为

{(𝑏 0,𝐴(𝑏 0)),(𝑏 1,𝐴(𝑏 1)),⋯,(𝑏 𝑛−1,𝐴(𝑏 𝑛−1))}={(𝑏 0,𝑎 0⋅𝑛),(𝑏 1,𝑎 1⋅𝑛),⋯,(𝑏 𝑛−1,𝑎 𝑛−1⋅𝑛)}{(b 0,A(b 0)),(b 1,A(b 1)),⋯,(b n−1,A(b n−1))}={(b 0,a 0⋅n),(b 1,a 1⋅n),⋯,(b n−1,a n−1⋅n)}

综上所述，我们取单位根为其倒数，对 {𝑦 0,𝑦 1,𝑦 2,⋯,𝑦 𝑛−1}{y 0,y 1,y 2,⋯,y n−1} 跑一遍 FFT，然后除以 𝑛 n 即可得到 𝑓(𝑥)f(x) 的系数表示．

#### 方法二

我们直接将 𝜔 𝑖 𝑛 ω n i 代入 𝐴(𝑥)A(x)．

推导的过程与方法一大同小异，最终我们得到 𝐴(𝜔 𝑘 𝑛) =∑𝑛−1 𝑗=0 𝑎 𝑗 𝑆(𝜔 𝑗+𝑘 𝑛)A(ω n k)=∑j=0 n−1 a j S(ω n j+k)．

当且仅当 𝑗 +𝑘 =0(m o d 𝑛)j+k=0(mod n) 时有 𝑆(𝜔 𝑗+𝑘 𝑛) =𝑛 S(ω n j+k)=n，否则为 0 0．因此 𝐴(𝜔 𝑘 𝑛) =𝑎 𝑛−𝑘 ⋅𝑛 A(ω n k)=a n−k⋅n．

这意味着我们将 {𝑦 0,𝑦 1,𝑦 2,⋯,𝑦 𝑛−1}{y 0,y 1,y 2,⋯,y n−1} 做 DFT 变换后除以 𝑛 n，再反转后 𝑛 −1 n−1 个元素，同样可以还原 𝑓(𝑥)f(x) 的系数表示．

### 代码实现

所以我们 FFT 函数可以集 DFT 和 IDFT 于一身．代码实现如下：

非递归版 FFT（对应方法一）

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    /*
     * 做 FFT
     * len 必须是 2^k 形式
     * on == 1 时是 DFT，on == -1 时是 IDFT
     */
    void fft(Complex y[], int len, int on) {
      // 位逆序置换
      change(y, len);
      // 模拟合并过程，一开始，从长度为一合并到长度为二，一直合并到长度为 len．
      for (int h = 2; h <= len; h <<= 1) {
        // wn：当前单位复根的间隔：w^1_h
        Complex wn(cos(2 * PI / h), sin(on * 2 * PI / h));
        // 合并，共 len / h 次．
        for (int j = 0; j < len; j += h) {
          // 计算当前单位复根，一开始是 1 = w^0_n，之后是以 wn 为间隔递增： w^1_n
          // ...
          Complex w(1, 0);
          for (int k = j; k < j + h / 2; k++) {
            // 左侧部分和右侧是子问题的解
            Complex u = y[k];
            Complex t = w * y[k + h / 2];
            // 这就是把两部分分治的结果加起来
            y[k] = u + t;
            y[k + h / 2] = u - t;
            // 后半个 「step」 中的ω一定和 「前半个」 中的成相反数
            // 「红圈」上的点转一整圈「转回来」，转半圈正好转成相反数
            // 一个数相反数的平方与这个数自身的平方相等
            w = w * wn;
          }
        }
      }
      // 如果是 IDFT，它的逆矩阵的每一个元素不只是原元素取倒数，还要除以长度 len．
      if (on == -1) {
        for (int i = 0; i < len; i++) {
          y[i].x /= len;
          y[i].y /= len;
        }
      }
    }

非递归版 FFT（对应方法二）

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    /*
     * 做 FFT
     * len 必须是 2^k 形式
     * on == 1 时是 DFT，on == -1 时是 IDFT
     */
    void fft(Complex y[], int len, int on) {
      change(y, len);
      for (int h = 2; h <= len; h <<= 1) {             // 模拟合并过程
        Complex wn(cos(2 * PI / h), sin(2 * PI / h));  // 计算当前单位复根
        for (int j = 0; j < len; j += h) {
          Complex w(1, 0);  // 计算当前单位复根
          for (int k = j; k < j + h / 2; k++) {
            Complex u = y[k];
            Complex t = w * y[k + h / 2];
            y[k] = u + t;  // 这就是把两部分分治的结果加起来
            y[k + h / 2] = u - t;
            // 后半个 「step」 中的ω一定和 「前半个」 中的成相反数
            // 「红圈」上的点转一整圈「转回来」，转半圈正好转成相反数
            // 一个数相反数的平方与这个数自身的平方相等
            w = w * wn;
          }
        }
      }
      if (on == -1) {
        reverse(y + 1, y + len);
        for (int i = 0; i < len; i++) {
          y[i].x /= len;
          y[i].y /= len;
        }
      }
    }

FFT 模板（HDU 1402 - A * B Problem Plus）

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    #include <cmath>
    #include <cstring>
    #include <iostream>

    const double PI = acos(-1.0);

    struct Complex {
      double x, y;

      Complex(double _x = 0.0, double _y = 0.0) {
        x = _x;
        y = _y;
      }

      Complex operator-(const Complex &b) const {
        return Complex(x - b.x, y - b.y);
      }

      Complex operator+(const Complex &b) const {
        return Complex(x + b.x, y + b.y);
      }

      Complex operator*(const Complex &b) const {
        return Complex(x * b.x - y * b.y, x * b.y + y * b.x);
      }
    };

    /*
     * 进行 FFT 和 IFFT 前的反置变换
     * 位置 i 和 i 的二进制反转后的位置互换
     *len 必须为 2 的幂
     */
    void change(Complex y[], int len) {
      int i, j, k;

      for (int i = 1, j = len / 2; i < len - 1; i++) {
        if (i < j) std::swap(y[i], y[j]);

        // 交换互为小标反转的元素，i<j 保证交换一次
        // i 做正常的 + 1，j 做反转类型的 + 1，始终保持 i 和 j 是反转的
        k = len / 2;

        while (j >= k) {
          j = j - k;
          k = k / 2;
        }

        if (j < k) j += k;
      }
    }

    /*
     * 做 FFT
     *len 必须是 2^k 形式
     *on == 1 时是 DFT，on == -1 时是 IDFT
     */
    void fft(Complex y[], int len, int on) {
      change(y, len);

      for (int h = 2; h <= len; h <<= 1) {
        Complex wn(cos(2 * PI / h), sin(on * 2 * PI / h));

        for (int j = 0; j < len; j += h) {
          Complex w(1, 0);

          for (int k = j; k < j + h / 2; k++) {
            Complex u = y[k];
            Complex t = w * y[k + h / 2];
            y[k] = u + t;
            y[k + h / 2] = u - t;
            w = w * wn;
          }
        }
      }

      if (on == -1) {
        for (int i = 0; i < len; i++) {
          y[i].x /= len;
        }
      }
    }

    constexpr int MAXN = 200020;
    Complex x1[MAXN], x2[MAXN];
    char str1[MAXN / 2], str2[MAXN / 2];
    int sum[MAXN];
    using std::cin;
    using std::cout;

    int main() {
      cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
      while (cin >> str1 >> str2) {
        int len1 = strlen(str1);
        int len2 = strlen(str2);
        int len = 1;

        while (len < len1 * 2 || len < len2 * 2) len <<= 1;

        for (int i = 0; i < len1; i++) x1[i] = Complex(str1[len1 - 1 - i] - '0', 0);

        for (int i = len1; i < len; i++) x1[i] = Complex(0, 0);

        for (int i = 0; i < len2; i++) x2[i] = Complex(str2[len2 - 1 - i] - '0', 0);

        for (int i = len2; i < len; i++) x2[i] = Complex(0, 0);

        fft(x1, len, 1);
        fft(x2, len, 1);

        for (int i = 0; i < len; i++) x1[i] = x1[i] * x2[i];

        fft(x1, len, -1);

        for (int i = 0; i < len; i++) sum[i] = int(x1[i].x + 0.5);

        for (int i = 0; i < len; i++) {
          sum[i + 1] += sum[i] / 10;
          sum[i] %= 10;
        }

        len = len1 + len2 - 1;

        while (sum[len] == 0 && len > 0) len--;

        for (int i = len; i >= 0; i--) cout << char(sum[i] + '0');

        cout << '\n';
      }

      return 0;
    }

## 参考文献

1. 桃酱的算法笔记.

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