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# 博弈论简介

博弈论（game theory）是经济学的一个分支，主要研究具有竞争或对抗性质的个体，在特定规则下所产生的各种行为．博弈论关注博弈中个体的预期行为与实际行为，并研究其最优策略．

通俗地讲，博弈论主要研究的是：在一个游戏中，进行游戏的多位玩家如何选择策略．

## 基础概念

本节将简要介绍博弈论中的一些常见概念．

### 合作/非合作博弈

合作博弈（cooperative game）是指参与者可以结成联盟、相互合作的博弈．在这类博弈中，个体的不合作行为往往会受到某种外部机制的惩罚．与之相对，非合作博弈（noncooperative game）中并不存在这样的机制，因此，参与者要么无法结成联盟，要么只能依赖可信的威胁机制维持合作．

相比合作博弈，非合作博弈的研究更为系统和成熟．本文讨论的所有博弈均为非合作博弈．

### 对称/非对称博弈

在 对称博弈（symmetric game）中，不同参与者在做出相同行为时获得的收益是相同的，也就是说，收益只取决于行为本身，而与行为者的身份无关．不满足这一条件的博弈称为 非对称博弈（asymmetric game）．

### 零和/非零和博弈

主页面：零和博弈

零和博弈（zero-sum game）指的是无论各方采取何种行为，所有参与者的收益总和始终为零．通常讨论的零和博弈涉及两名参与者，此时，一方的收益必然是另一方的损失．相对地，非零和博弈（non-zero-sum game）允许多方共赢或共输，包括 正和博弈（positive-sum game）和 负和博弈（negative-sum game）等．

### 同时/序贯博弈

在 同时博弈（simulatenous game）中，所有参与者在不知道他人选择的前提下同时做出决策．例如剪刀石头布就是一个典型的同时博弈．这类博弈常用收益矩阵表示，并通常不涉及时间的概念．

与此相对的是 序贯博弈（sequential game），即参与者依次行动．需要注意的是，后行动者至少能够观察到部分先行动者的行为，否则先后顺序将毫无意义．序贯博弈通常借助博弈树来刻画．

### 完美/不完美信息博弈

完美信息（perfect information）指参与者在任意时刻做出决策时，完全了解此前所有事件的发生情况，包括游戏初始状态．例如象棋、围棋等属于完美信息博弈；而麻将、扑克则是不完美信息博弈，因为玩家无法获知他人的手牌．完美信息通常用于描述序贯博弈；由于在同时博弈中玩家彼此无法得知对方即将采取的行动，因此通常认为同时博弈不是完美信息博弈．

### 完全/不完全信息博弈

完全信息（complete information）是指所有参与者对博弈结构本身（包括各方可选决策和最终收益）有完全了解，且这些信息为公共知识（common knowledge）．与之相对的是不完全信息博弈，其中某些博弈要素（如对手的可选决策或收益函数）对参与者来说是未知的．

值得注意的是，「完全信息」和「完美信息」是两个独立概念，互不包含．例如，麻将是一种完全信息但不完美信息的博弈，因其规则和收益是公开的，但牌面信息并不透明；而某些具有隐藏目标、但行为全程公开的游戏，则属于完美信息但不完全信息的博弈．

## 组合博弈论

在算法竞赛中，最常见的博弈类型是 组合博弈（combinatorial game）．该术语通常指那些因状态数量巨大而难以求解的博弈．正因为一般的组合博弈相当复杂，组合博弈论主要关注以下类型：两人轮流行动的、完美信息、无随机因素的博弈．象棋、围棋等都是典型的组合博弈．

### 公平组合博弈

主页面：公平组合博弈

公平博弈（impartial game）指满足如下条件的组合博弈：

- 在任意确定状态下，所有参与者可选择的行动完全相同，仅取决于当前状态，与身份无关；
- 博弈中的同一个状态不可能多次抵达，博弈以参与者无法行动为结束，且博弈一定会在有限步后以非平局结束．

公平博弈总是对称博弈．

### 非公平组合博弈

主页面：非公平组合博弈

与公平博弈相对的概念是 非公平博弈（partizan game），即参与者在某一状态下可采取的行动依赖其身份．大多数棋类游戏（如国际象棋、中国象棋、围棋、五子棋等）都是非公平博弈，因为参与者只能操作自己的棋子．

### 正常/反常博弈

组合博弈中，通常的胜利者是博弈结束前，最后一名采取行动的参与者．这称为 正常博弈（normal game）．与之相对应的是 反常博弈（misère game），即博弈结束前，最后一名采取行动的参与者是失败者．

公平和非公平组合博弈都可以是正常或反常博弈．

## 参考资料

- Game theory - Wikipedia
- Combinatorial game theory - Wikipedia
- Impartial game - Wikipedia
- Misère - Wikipedia

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