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# 随机变量

## 相关概念

### 随机变量

给定概率空间 (Ω,F,𝑃)(Ω,F,P)，定义在样本空间 Ω Ω 上的函数 𝑋 :Ω →ℝ X:Ω→R 若满足：对任意 𝑡 ∈ℝ t∈R 都有

{𝜔∈Ω:𝑋(𝜔)≤𝑡}∈F{ω∈Ω:X(ω)≤t}∈F

则称 𝑋 X 为 随机变量．

### 示性函数

对于样本空间 Ω Ω 上的事件 𝐴 A，定义随机变量

𝐼 𝐴(𝜔)={1,𝜔∈𝐴 0,𝜔∉𝐴 I A(ω)={1,ω∈A 0,ω∉A

称 𝐼 𝐴 I A 是事件 𝐴 A 的 示性函数．

### 分布函数

对于随机变量 𝑋 X，称函数

𝐹(𝑥)=𝑃(𝑋≤𝑥)F(x)=P(X≤x)

为随机变量 𝑋 X 的 分布函数．记作 𝑋 ∼𝐹(𝑥)X∼F(x)．

分布函数具有以下性质：

- 右连续性：𝐹(𝑥) =𝐹(𝑥 +0)F(x)=F(x+0)
- 单调性：在 ℝ R 上单调递增（非严格）
- 𝐹( −∞) =0 F(−∞)=0,𝐹( +∞) =1 F(+∞)=1

同时我们可以证明，满足上述要求的函数都是某个随机变量的分布函数．因此，分布函数与随机变量之间一一对应．

## 随机变量的分类

随机变量按其值域（根据定义，随机变量是一个函数）是否可数分为 离散型 和 连续型 两种．

### 离散型随机变量

设 𝑋 X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 𝑥 1,𝑥 2,⋯x 1,x 2,⋯，则我们可以用一系列形如 𝑃{𝑋 =𝑥 𝑖} =𝑝 𝑖 P{X=x i}=p i 的等式来描述 𝑋 X．这就是我们在高中课本中学过的 分布列．

### 连续型随机变量

设 𝑋 X 为连续型随机变量，考察 𝑃{𝑋 =𝑥}P{X=x} 往往是无意义的（因为这一概率很可能是 0 0）．

为什么说概率「很可能」是 0 0

考虑这样的随机变量 𝑋 X：它以 1 2 1 2 的概率取 0 0，以 1 2 1 2 的概率服从开区间 (0,1)(0,1) 上的均匀分布．显然 𝑋 X 满足连续型随机变量的定义．

对任何实数 𝑟 ∈(0,1)r∈(0,1)，不难得到 𝑃{𝑋 =𝑟} =0 P{X=r}=0，但同时有 𝑃{𝑋 =0} =1 2 P{X=0}=1 2．

另一方面，设 𝑋 ∼𝐹(𝑥)X∼F(x)，则

𝑃(𝑙<𝑥≤𝑙+Δ 𝑥)=𝐹(𝑙+Δ 𝑥)−𝐹(𝑙)P(l<x≤l+Δ x)=F(l+Δ x)−F(l)

一个自然的想法是用极限 l i m Δ 𝑥→0+𝐹(𝑙+Δ 𝑥)−𝐹(𝑙)Δ 𝑥 lim Δ x→0+F(l+Δ x)−F(l)Δ x 来描述 𝑋 X 取值为 𝑙 l 的可能性．

这个式子就是我们熟知的导数，于是问题转化为寻找一个非负函数 𝑓(𝑥)f(x) 使得

𝐹(𝑥)=∫𝑥−∞𝑓(𝑥)d 𝑥 F(x)=∫−∞x f(x)d x

若这样的 𝑓(𝑥)f(x) 存在，则称之为 𝑋 X 的 密度函数．

## 随机变量的独立性

前面讨论了随机事件的独立性．由于随机变量和随机事件紧密联系，我们还可以类似地给出随机变量独立性的定义．

### 定义

若随机变量 𝑋,𝑌 X,Y 满足对任意的 𝑥,𝑦 ∈ℝ x,y∈R 都有

𝑃(𝑋≤𝑥,𝑌≤𝑦)=𝑃(𝑋≤𝑥)𝑃(𝑌≤𝑦)P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)

则称随机变量 𝑋,𝑌 X,Y 独立．

Note

有些同学也许会注意到，中学课本中对随机变量独立性的定义是用形如 𝑃(𝑋 =𝛼)P(X=α) 的概率定义的，但由于连续性随机变量取特定值的概率通常是 0 0，故在更一般的情形下借助分布函数定义才是更加明智的选择．

### 性质

若随机变量 𝑋 X,𝑌 Y 相互独立，则对于任意函数 𝑓,𝑔 f,g，随机变量 𝑓(𝑋)f(X) 与 𝑔(𝑌)g(Y) 相互独立．

注意

有时候我们会研究相互独立的随机变量 𝑋 X,𝑌 Y 的某一函数 𝑓(𝑋,𝑌)f(X,Y)（如 𝑋 𝑌 2 X Y 2）的分布．

尽管 𝑋 X 与 𝑌 Y 是独立的，但不能想当然地认为对 𝑌 Y 的某一取值 𝑦 y，𝑓(𝑋,𝑦)f(X,y) 与 𝑓(𝑋,𝑌)f(X,Y) 服从同样的分布．

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