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# Jordan标准型

## Jordan 分解

设 𝑇 T 是 𝑛 n 维空间 𝑉 V 上的一个线性变换．如果 𝑇 T 的最小多项式为：

𝑚 𝐴(𝜆)=(𝜆−𝜆 1)𝑟 1(𝜆−𝜆 2)𝑟 2⋯(𝜆−𝜆 𝑘)𝑟 𝑘 m A(λ)=(λ−λ 1)r 1(λ−λ 2)r 2⋯(λ−λ k)r k

那么由准素分解可知，空间 𝑉 V 可以分解为子空间的直和：

𝑉=𝑉 1⊕𝑉 2⊕⋯⊕𝑉 𝑘 V=V 1⊕V 2⊕⋯⊕V k

其中 𝑉 𝑖 =𝑁((𝐴−𝜆 𝑖 𝐼)𝑟 𝑖)V i=N((A−λ i I)r i)，式中 𝐴 A 为 𝑇 T 对应的矩阵，这些子空间都在 𝑇 T 作用下不变．

令变换 𝑇 𝑖 T i 为 𝑉 V 在子空间 𝑉 𝑖 V i 上的射影，即构造多项式 𝑢 𝑖(𝑇)u i(T) 使得：

- 𝑇 𝑖=𝑢 𝑖(𝑇)𝑚 𝐴(𝑇)(𝑇−𝜆 𝑖 𝑇 𝑒)𝑟 𝑖 T i=u i(T)m A(T)(T−λ i T e)r i
- 𝑇 1+𝑇 2+⋯+𝑇 𝑘=𝑇 𝑒 T 1+T 2+⋯+T k=T e

式中 𝑇 𝑒 T e 表示空间 𝑉 V 的恒等变换．于是有性质：

- 变换 𝑇 𝑖 T i 在空间 𝑉 𝑖 V i 上的限制 𝑇 𝑖|𝑉 𝑖 T i|V i 为空间 𝑉 𝑖 V i 的恒等变换．
- 如果 𝑖 i 与 𝑗 j 不相等，变换 𝑇 𝑖 T i 在空间 𝑉 𝑗 V j 上的限制 𝑇 𝑖|𝑉 𝑗 T i|V j 为空间 𝑉 𝑗 V j 的零变换．

于是变换 𝑇 𝑖 T i 将空间 𝑉 V 的每一个向量 𝜉 ξ 映射为它在空间 𝑉 𝑖 V i 中的分量 𝜉 𝑖 ξ i．

构造变换：

𝑇 𝐷=𝜆 1 𝑇 1+𝜆 2 𝑇 2+⋯+𝜆 𝑘 𝑇 𝑘 T D=λ 1 T 1+λ 2 T 2+⋯+λ k T k

由于每一个变换 𝑇 𝑖 T i 都是变换 𝑇 T 的一个多项式，所以变换 𝑇 𝐷 T D 也是变换 𝑇 T 的一个多项式，于是每一个子空间 𝑉 𝑖 V i 在变换 𝑇 𝐷 T D 下不变．

由上述等式可知，变换 𝑇 𝐷 T D 在子空间 𝑉 𝑖 V i 上的限制 𝑇 𝐷|𝑉 𝑖 T D|V i 是子空间 𝑉 𝑖 V i 的一个位似，位似系数为 𝜆 𝑖 λ i．因此，变换 𝑇 𝐷 T D 可以对角化．

构造：

𝑇 𝑁=𝑇−𝑇 𝐷 T N=T−T D

于是变换 𝑇 𝑁 T N 也是变换 𝑇 T 的一个多项式，所以每一个子空间 𝑉 𝑖 V i 在变换 𝑇 𝑁 T N 下不变．对于子空间 𝑉 𝑖 V i 中的任意向量 𝜉 𝑖 ξ i，有：

𝑇 𝑁 𝑟 𝑖(𝜉 𝑖)=𝑇−𝑇 𝐷 𝑟 𝑖(𝜉 𝑖)=𝑇−𝜆 𝑖 𝑇 𝑖 𝑟 𝑖(𝜉 𝑖)=0 T N r i(ξ i)=T−T D r i(ξ i)=T−λ i T i r i(ξ i)=0

令 𝑟 r 为全体 𝑟 𝑖 r i 的最大值，那么对于空间 𝑉 V 中的任意向量 𝜉 ξ，变换 𝑇 𝑁 T N 的 𝑟 r 次方将向量 𝜉 ξ 映射至零向量．因此变换 𝑇 𝑁 T N 是一个幂零变换．

这样，空间 𝑉 V 的每一个变换 𝑇 T 都可以写成：

𝑇=𝑇 𝐷+𝑇 𝑁 T=T D+T N

其中 𝑇 𝐷 T D 可以对角化，而 𝑇 𝑁 T N 是一个幂零变换．因为 𝑇 𝐷 T D 和 𝑇 𝑁 T N 都是变换 𝑇 T 的多项式，所以它们的乘积可交换：

𝑇 𝐷 𝑇 𝑁=𝑇 𝑁 𝑇 𝐷 T D T N=T N T D

定理：设 𝑇 1 T 1 和 𝑇 2 T 2 是空间 𝑉 V 的两个可对角化变换，且 𝑇 1 𝑇 2 =𝑇 2 𝑇 1 T 1 T 2=T 2 T 1，那么存在一个基，使得 𝑇 1 T 1 和 𝑇 2 T 2 关于这同一个基的矩阵是对角形式．

定理：设 𝑇 T 是 𝑛 n 维空间 𝑉 V 上的一个线性变换，那么存在一个可对角化变换 𝑇 𝐷 T D 和一个幂零变换 𝑇 𝑁 T N，使得：

- 𝑇=𝑇 𝐷+𝑇 𝑁 T=T D+T N
- 𝑇 𝐷 𝑇 𝑁=𝑇 𝑁 𝑇 𝐷 T D T N=T N T D

它们都是变换 𝑇 T 的多项式，并且它们由变换 𝑇 T 唯一确定．

该定理给出关于变换 𝑇 T 的分解，称为 𝑇 T 的若尔当（Jordan）分解，𝑇 𝐷 T D 叫做 𝑇 T 的可对角化部分，𝑇 𝑁 T N 叫做 𝑇 T 的幂零部分．

同样地，有矩阵的 Jordan 分解：

定理：设 𝐴 A 是一个 𝑛 n 阶矩阵，那么存在一个可对角化矩阵 𝐷 D 和一个幂零矩阵 𝑁 N，使得：

- 𝐴=𝐷+𝑁 A=D+N
- 𝐷 𝑁=𝑁 𝐷 D N=N D

它们都是矩阵 𝐴 A 的多项式，并且它们由矩阵 𝐴 A 唯一确定．

该定理给出关于矩阵 𝐴 A 的分解，称为 𝐴 A 的若尔当（Jordan）分解，𝐷 D 叫做 𝐴 A 的可对角化部分，𝑁 N 叫做 𝐴 A 的幂零部分．

## lambda 矩阵

接下来引入的部分是含有变元参量 𝜆 λ 的更广义的矩阵，不仅仅是一个数表．这部分讨论相较单纯由数构成的矩阵而言，更加广泛一些．

对于 𝜆 λ 矩阵，对应空间相应的域，变为含有一个变元 𝜆 λ 的有理式域．

以 𝜆 λ 的多项式为元素的矩阵称为 𝜆 λ 矩阵，记为 𝐴(𝜆)A(λ)．

由于多项式域包含数域，数字矩阵是特殊的 𝜆 λ 矩阵，数字矩阵 𝐴 A 的特征矩阵 𝜆 𝐼 −𝐴 λ I−A 是一种 𝜆 λ 矩阵．

### lambda 矩阵的初等变换

对于 𝜆 λ 矩阵，同样可以定义加减法、乘法、初等变换、秩．对于 𝜆 λ 方阵，同样可以定义行列式、余子式、代数余子式．

对于 𝜆 λ 矩阵，初等变换与数阵大多相同，仅将倍加变换改为（这里以行变换为例）：

- 用 𝜆 λ 的多项式 𝜑(𝜆)φ(λ) 乘某行并加到另一行上．

注意倍乘变换不进行修改．这是因为倍加变换不改变行列式，而倍乘变换改变行列式．为了保持多项式域的秩的性质，行列式只能在数域上进行改变．

相应的初等矩阵也一并进行修改．

易见三种初等阵的行列式均为非零常数，因此均为满秩．所以它们左乘或右乘，不改变 𝜆 λ 矩阵的秩．

若 𝐴(𝜆)A(λ) 经过有限次初等变换变为 𝐵(𝜆)B(λ)，则称 𝐴(𝜆)A(λ) 和 𝐵(𝜆)B(λ) 等价．

对于 𝜆 λ 矩阵，如果等价，则秩相同．反之则不然，这与数字矩阵有区别．

## Smith 标准型

定理：设 𝜆 λ 矩阵的秩是 𝑟 r，则 𝐴(𝜆)A(λ) 一定等价于：

(𝐷(𝜆)0 0 0)(D(λ)0 0 0)

其中：

𝐷(𝜆)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑑 1(𝜆)⋱𝑑 𝑟(𝜆)⎞⎟ ⎟ ⎟⎠D(λ)=(d 1(λ)⋱d r(λ))

每一个 𝑑 𝑖(𝜆)d i(λ) 是一个首 1 1 多项式，并且相邻两个多项式有整除关系 𝑑 𝑖(𝜆)|𝑑 𝑖+1(𝜆)d i(λ)|d i+1(λ)．

称此标准型为 Smith 标准型，称 𝑑 𝑖(𝜆)d i(λ) 为不变因子．

具体求解 Smith 标准型的办法是，从左上角到右下角进行消元，每次左上角的元素是右下方剩余的全体多项式的最大公因式，并借助左上角的元素将该行该列全部消为 0 0．

定理：条件 𝐴(𝜆)A(λ) 和 𝐵(𝜆)B(λ) 等价，等价于条件 𝐴(𝜆)A(λ) 和 𝐵(𝜆)B(λ) 拥有完全一样的不变因子．

### 初等因子

由代数基本定理，设 𝐴(𝜆)A(λ) 的不变因子 𝑑 1(𝜆),𝑑 2(𝜆),⋯,𝑑 𝑚(𝜆)d 1(λ),d 2(λ),⋯,d m(λ) 的分解为：

𝑑 𝑖(𝜆)=(𝜆−𝜆 1)𝑒 𝑖 1(𝜆−𝜆 2)𝑒 𝑖 2⋯(𝜆−𝜆 𝑆)𝑒 𝑖 𝑆 d i(λ)=(λ−λ 1)e i 1(λ−λ 2)e i 2⋯(λ−λ S)e i S

其中 𝜆 1,⋯,𝜆 𝑆 λ 1,⋯,λ S 互不相同．由于：

𝑑 𝑖(𝜆)|𝑑 𝑖+1(𝜆)d i(λ)|d i+1(λ)

因此指数 𝑒 1 𝑗,𝑒 2 𝑗,⋯,𝑒 𝑚 𝑗 e 1 j,e 2 j,⋯,e m j 递增，并且最后一项 𝑑 𝑚(𝜆)d m(λ) 的各项指数均非零．

上式中指数大于零的全部因子，统称为 𝐴(𝜆)A(λ) 的初等因子．

注意，初等因子计重数．如果对于某个 𝑗 j，指数 𝑒 𝑖 𝑗 e i j 出现了若干次，则对应的初等因子 (𝜆−𝜆 𝑗)𝑒 𝑖 𝑗(λ−λ j)e i j 也应当出现相应次数．

之前的定理说明，𝐴(𝜆)A(λ) 与 𝐵(𝜆)B(λ) 等价，等价于他们两个拥有完全一致的不变因子．不变因子完全相同，自然初等因子也完全相同，但是反之则不然．事实上有结论：

定理：𝐴(𝜆)A(λ) 与 𝐵(𝜆)B(λ) 不变因子完全相同，等价于初等因子和秩均完全相同．

于是「初等因子和秩均完全相同」也成为判断 𝜆 λ 矩阵等价性的条件．

在初等变换的时候，也可以先将 𝐴(𝜆)A(λ) 变换为对角阵，再求出初等因子和秩，再求出不变因子得到标准型．有结论：

定理：设 𝐴(𝜆)A(λ) 等价于对角阵：

d i a g⁡{𝑓 1(𝜆),𝑓 2(𝜆),⋯,𝑓 𝑟(𝜆),0,⋯,0}diag⁡{f 1(λ),f 2(λ),⋯,f r(λ),0,⋯,0}

那么有 𝑓 1(𝜆),𝑓 2(𝜆),⋯,𝑓 𝑟(𝜆)f 1(λ),f 2(λ),⋯,f r(λ) 的全体一次因子的幂 (𝜆−𝜆 𝑗)𝑒 𝑖 𝑗(λ−λ j)e i j，构成 𝐴(𝜆)A(λ) 的初等因子．

由初等因子和秩构造不变因子的具体方法为：先将初等因子按照因式分类，排成表格，把同类因式进行降幂排列放到同一行，各类因式的最高次幂放到一列，把列数用 1 1 补齐至秩 𝑟 r，那么每一列的乘积构成一个不变因子．

### 在特征矩阵中的应用

如果 𝐴 A 与 𝐵 B 是数阵，那么它们的特征矩阵是 𝜆 λ 矩阵．有结论：

定理：条件数阵 𝐴 A 与 𝐵 B 相似，等价于条件特征矩阵 𝜆 𝐼 −𝐴 λ I−A 和 𝜆 𝐼 −𝐵 λ I−B 等价．

由于特征矩阵 𝜆 𝐼 −𝐴 λ I−A 只在主对角线含有 𝑛 n 个 𝜆 λ，所以秩为 𝑛 n．由上述推理，同型的数阵的特征矩阵的秩始终相等，于是有等价性：

数阵 𝐴 A 与 𝐵 B 相似，等价于特征矩阵 𝜆 𝐼 −𝐴 λ I−A 和 𝜆 𝐼 −𝐵 λ I−B 有完全相同的初等因子．

对于特征矩阵 𝜆 𝐼 −𝐴 λ I−A，初等变换保持等价性，所以不改变秩．

观察三种初等变换，由于唯一被改写的倍加变换不改变行列式，事实上三种初等变换仅对行列式的结果多项式改变常数倍，因此不改变行列式的结果多项式的因式分解与次数．

因此特征矩阵 𝜆 𝐼 −𝐴 λ I−A 的行列式为 𝑛 n 次多项式，初等变换化为 Smith 标准型后，由于秩为 𝑛 n，行列式就是主对角线全体不变因子的乘积，也等于全体初等因子的乘积．因此，特征矩阵 𝜆 𝐼 −𝐴 λ I−A 的全体初等因子的次数之和等于 𝑛 n．

## Jordan 标准型

矩阵

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝜆 1 0⋯0 0 0 𝜆 1⋯0 0 0 0 𝜆⋯0 0⋮⋮⋮⋮⋮0 0 0⋯𝜆 1 0 0 0⋯0 𝜆⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠(λ 1 0⋯0 0 0 λ 1⋯0 0 0 0 λ⋯0 0⋮⋮⋮⋮⋮0 0 0⋯λ 1 0 0 0⋯0 λ)

主对角线上的元素都是 𝜆 λ，紧邻主对角线上方的元素都是 1 1，其余位置都是 0 0，叫做属于 𝜆 λ 的一个 Jordan 矩阵，或称 Jordan 块．

显然，幂零 Jordan 矩阵是 Jordan 矩阵的特例，即 𝜆 λ 为 0 0 的情形．

定理：设 𝑇 T 是 𝑛 n 维空间 𝑉 V 的一个变换，𝜆 1,⋯,𝜆 𝑘 λ 1,⋯,λ k 是 𝑇 T 的一切互不相同的特征值，那么存在一个基，使得 𝑇 T 关于这个基的矩阵有形状：

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝐵 1 0 𝐵 2⋱0 𝐵 𝑘⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠(B 1 0 B 2⋱0 B k)

其中

𝐵 𝑖=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝐽 𝑖 1 0 𝐽 𝑖 2⋱0 𝐽 𝑖 𝑠 𝑖⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠B i=(J i 1 0 J i 2⋱0 J i s i)

其中 𝐽 𝑖 1,⋯,𝐽 𝑖 𝑠 𝑖 J i 1,⋯,J i s i 都是属于 𝜆 𝑖 λ i 的 Jordan 块．

这是因为，首先根据最小多项式：

𝑚 𝐴(𝜆)=(𝜆−𝜆 1)𝑟 1(𝜆−𝜆 2)𝑟 2⋯(𝜆−𝜆 𝑘)𝑟 𝑘 m A(λ)=(λ−λ 1)r 1(λ−λ 2)r 2⋯(λ−λ k)r k

有准素分解：

𝑉=𝑉 1⊕𝑉 2⊕⋯⊕𝑉 𝑘 V=V 1⊕V 2⊕⋯⊕V k

其中：

𝑉 𝑖=𝑁((𝐴−𝜆 𝑖 𝐼)𝑟 𝑖)V i=N((A−λ i I)r i)

式中 𝐴 A 为 𝑇 T 对应的矩阵．

令变换 𝑆 𝑖 S i 为 𝑇 T 在 𝑉 𝑖 V i 上的限制 𝑇|𝑉 𝑖 T|V i，接下来试图对每一个 𝑆 𝑖 S i 进行 Jordan 分解．

记 𝑇 𝑒 T e 为 𝑉 V 上的恒等变换．与前文的 Jordan 分解不同，记 𝑇 𝑖 T i 为 𝑆 𝑖 S i 的 Jordan 分解中的幂零部分：

𝑆 𝑖=𝜆 𝑖 𝑇 𝑒+𝑇 𝑖 S i=λ i T e+T i

于是 𝑇 𝑖 T i 为子空间 𝑉 𝑖 V i 的一个幂零变换，事实上也是 𝑇 −𝜆 𝑖 𝑇 𝑒 T−λ i T e 在 𝑉 𝑖 V i 上的限制 (𝑇−𝜆 𝑖 𝑇 𝑒)|𝑉 𝑖(T−λ i T e)|V i．

子空间 𝑉 𝑖 V i 可以分解为幂零变换 𝑇 𝑖 T i 循环子空间的直和：

𝑉 𝑖=𝑊 𝑖 1⊕𝑊 𝑖 2⊕⋯⊕𝑊 𝑖 𝑠 𝑖 V i=W i 1⊕W i 2⊕⋯⊕W i s i

在每一个循环子空间 𝑊 𝑖 𝑗 W i j 里，取一个循环基并倒序排列，凑成 𝑉 𝑖 V i 的一个基，于是 𝑇 𝑖 T i 关于这个基的矩阵有形状：

𝑁 𝑖=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝑁 𝑖 1 0 𝑁 𝑖 2⋱0 𝑁 𝑖 𝑠 𝑖⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠N i=(N i 1 0 N i 2⋱0 N i s i)

全体 𝑁 𝑖 𝑗 N i j 均为幂零 Jordan 块．于是对于 𝑉 𝑖 V i 上述选取的基，𝑆 𝑖 S i 对应的矩阵是：

𝐵 𝑖=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝜆 𝑖 0 𝜆 𝑖⋱0 𝜆 𝑖⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝑁 𝑖 1 0 𝑁 𝑖 2⋱0 𝑁 𝑖 𝑠 𝑖⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝐽 𝑖 1 0 𝐽 𝑖 2⋱0 𝐽 𝑖 𝑠 𝑖⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠B i=(λ i 0 λ i⋱0 λ i)+(N i 1 0 N i 2⋱0 N i s i)=(J i 1 0 J i 2⋱0 J i s i)

这里 𝐽 𝑖 1,𝐽 𝑖 2,⋯,𝐽 𝑖 𝑠 𝑖 J i 1,J i 2,⋯,J i s i 都是属于 𝜆 𝑖 λ i 的 Jordan 块．

对于每一个子空间 𝑉 𝑖 V i，按照以上方式选取一个基，凑起来成为 𝑉 V 的基，那么 𝑇 T 关于这个基的矩阵即构成定理规定的形式．

形如：

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝐽 1 0 𝐽 2⋱0 𝐽 𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠(J 1 0 J 2⋱0 J m)

的 𝑛 n 阶矩阵，其中每一个 𝐽 𝑖 J i 都是一个 Jordan 块，叫做一个 Jordan 标准型．

定理：每一个 𝑛 n 阶矩阵 𝐴 A 都与一个 Jordan 标准型相似．除了各个 Jordan 块排列的次序以外，与 𝐴 A 相似的 Jordan 标准型是由 𝐴 A 唯一确定的．

注意在上述构造的矩阵 𝐵 𝑖 B i 中，第一项是一个单位阵的若干倍，自然可以和第二项交换．因此，第一项就是 𝐵 𝑖 B i 的 Jordan 分解的可对角化部分，第二项就是 𝐵 𝑖 B i 的 Jordan 分解的幂零部分．

在一个矩阵对应的 Jordan 标准型里面，主对角线上的元素构成的对角阵是这个矩阵对应的 Jordan 标准型的可对角化部分，把主对角线上的元素换成 0 0 就得到这个矩阵对应的 Jordan 标准型的幂零部分．

定理：对于矩阵 𝐴 A 的 Jordan 标准型中，每一个 Jordan 块：

𝐽 𝑖=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝜆 𝑖 1 𝜆 𝑖 1⋱⋱⋱1 𝜆 𝑖⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠J i=(λ i 1 λ i 1⋱⋱⋱1 λ i)

对应于特征矩阵 𝜆 𝐼 −𝐴 λ I−A 的一个初等因子 (𝜆−𝜆 𝑖)𝑛 𝑖(λ−λ i)n i，特征矩阵 𝜆 𝐼 −𝐴 λ I−A 的全体初等因子对应于矩阵 𝐴 A 的 Jordan 标准型中的全体 Jordan 块．

这是因为，矩阵 𝐴 A 相似于它的 Jordan 标准型，因此两者的特征矩阵也等价，将 Jordan 标准型的特征矩阵化为 Smith 标准型即可看出．

由这个定理，借助特征矩阵 𝜆 𝐼 −𝐴 λ I−A 的初等因子，可以写出矩阵 𝐴 A 的 Jordan 标准型．

一个推论是，矩阵 𝐴 A 可对角化，等价于特征矩阵 𝜆 𝐼 −𝐴 λ I−A 的初等因子均为一次的．

## 弗罗贝尼乌斯（Forbenious）定理

上文指出，𝑛 n 阶特征矩阵的 Smith 标准形的秩为 𝑛 n．

定理：设矩阵 𝐴 A 的特征矩阵 𝜆 𝐼 −𝐴 λ I−A 的 Smith 标准形为：

d i a g⁡{𝑑 1(𝜆),𝑑 2(𝜆),⋯,𝑑 𝑛(𝜆)}diag⁡{d 1(λ),d 2(λ),⋯,d n(λ)}

则最后一个不变因子 𝑑 𝑛(𝜆)d n(λ) 恰好为矩阵 𝐴 A 的最小多项式 𝑚 𝐴(𝜆)m A(λ)．

推论：矩阵 𝐴 A 可对角化的等价条件为：

- 最小多项式 𝑚 𝐴(𝜆)m A(λ) 无重根．
- 特征矩阵 𝜆 𝐼 −𝐴 λ I−A 的不变因子无重根．
- 特征矩阵 𝜆 𝐼 −𝐴 λ I−A 的初等因子均为一次的．

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