跳转至

# 数学符号表

本文规定了 OI Wiki 中数学符号的推荐写法，并给出了一些应用范例．

本文参考了 GB/T 3102.11-1993、ISO 80000-2:2019 和《具体数学》的符号表修订，故基本与国内通行教材的符号体系和 OI 场景的惯用符号体系兼容．

符号的 LaTeX 写法请参考 本文章的源代码

## 数理逻辑

编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例
--- | --- | --- | ---
n1.1 | 𝑝 ∧𝑞 p∧q | 𝑝 p 和 𝑞 q 的合取 | 𝑝 p 与 𝑞 q.
n1.2 | 𝑝 ∨𝑞 p∨q | 𝑝 p 和 𝑞 q 的析取 | 𝑝 p 或 𝑞 q; 此处的 "或" 是包含的，即若 𝑝 p，𝑞 q 中有一个为真陈述，则 𝑝 ∨𝑞 p∨q 为真．
n1.3 | ¬𝑝¬p | 𝑝 p 的否定 | 非 𝑝 p.
n1.4 | 𝑝 ⟹ 𝑞 p⟹q | 𝑝 p 蕴含 𝑞 q; 若 𝑝 p 为真，则 𝑞 q 为真 | 𝑞 ⟸ 𝑝 q⟸p 和 𝑝 ⟹ 𝑞 p⟹q 同义．
n1.5 | 𝑝 ⟺ 𝑞 p⟺q | 𝑝 p 等价于 𝑞 q | (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧(𝑞 ⟹ 𝑝)(p⟹q)∧(q⟹p) 和 𝑝 ⟺ 𝑞 p⟺q 同义．
n1.6 | (∀ 𝑥 ∈𝐴) 𝑝(𝑥)(∀ x∈A) p(x) | 对 𝐴 A 中所有的 𝑥 x, 命题 𝑝(𝑥)p(x) 均为真 | 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 𝐴 A, 可以使用记号 (∀ 𝑥) 𝑝(𝑥)(∀ x) p(x). ∀∀ 称为全称量词． 𝑥 ∈𝐴 x∈A 的含义见 n2.1.
n1.7 | (∃ 𝑥 ∈𝐴) 𝑝(𝑥)(∃ x∈A) p(x) | 存在一个属于 𝐴 A 的 𝑥 x 使得 𝑝(𝑥)p(x) 为真 | 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 𝐴 A, 可以使用记号 (∃ 𝑥) 𝑝(𝑥)(∃ x) p(x). ∃∃ 称为存在量词． 𝑥 ∈𝐴 x∈A 的含义见 n2.1. (∃! 𝑥) 𝑝(𝑥)(∃! x) p(x)（唯一量词）用来表示恰有一个 𝑥 x 使得 𝑝(𝑥)p(x) 为真． ∃!∃! 也可以写作 ∃1∃1.

## 集合论

编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例
--- | --- | --- | ---
n2.1 | 𝑥 ∈𝐴 x∈A | 𝑥 x 属于 𝐴 A，𝑥 x 是集合 𝐴 A 中的元素 | 𝐴 ∋𝑥 A∋x 和 𝑥 ∈𝐴 x∈A 同义．
n2.2 | 𝑦 ∉𝐴 y∉A | 𝑦 y 不属于 𝐴 A，𝑦 y 不是集合 𝐴 A 中的元素 |
n2.3 | {𝑥 1,𝑥 2,…,𝑥 𝑛}{x 1,x 2,…,x n} | 含元素 𝑥 1,𝑥 2,…,𝑥 𝑛 x 1,x 2,…,x n 的集合 | 也可写作 {𝑥 𝑖 | 𝑖 ∈𝐼}{x i | i∈I}, 其中 𝐼 I 表示指标集．
n2.4 | {𝑥 ∈𝐴 | 𝑝(𝑥)}{x∈A | p(x)} | 𝐴 A 中使命题 𝑝(𝑥)p(x) 为真的所有元素组成的集合 | 例如 {𝑥 ∈𝐑 | 𝑥 ≥5}{x∈R | x≥5}; 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 𝐴 A，可以使用符号 {𝑥 | 𝑝(𝑥)}{x | p(x)}（如在只考虑实数集时可使用 {𝑥 | 𝑥 ≥5}{x | x≥5}） || 也可以使用冒号替代，如 {𝑥 ∈𝐴 :𝑝(𝑥)}{x∈A:p(x)}.
n2.5 | c a r d⁡𝐴 card⁡A; |𝐴||A|; #𝐴#A | 𝐴 A 中的元素个数，𝐴 A 的基数 |
n2.6 | ∅∅ | 空集 | 不应使用 ∅∅.
n2.7 | 𝐵 ⊆𝐴 B⊆A | 𝐵 B 包含于 𝐴 A 中，𝐵 B 是 𝐴 A 的子集 | 𝐵 B 的每个元素都属于 𝐴 A. ⊂⊂ 也可用于该含义，但请参阅 n2.8 的说明． 𝐴 ⊇𝐵 A⊇B 和 𝐵 ⊆𝐴 B⊆A 同义．
n2.8 | 𝐵 ⊂𝐴 B⊂A | 𝐵 B 真包含于 𝐴 A 中，𝐵 B 是 𝐴 A 的真子集 | 𝐵 B 的每个元素都属于 𝐴 A, 且 𝐴 A 中至少有一个元素不属于 𝐵 B. 若 ⊂⊂ 的含义取 n2.7, 则 n2.8 对应的符号应使用 ⊊⊊. 𝐴 ⊃𝐵 A⊃B 与 𝐵 ⊂𝐴 B⊂A 同义．
n2.9 | 𝐴 ∪𝐵 A∪B | 𝐴 A 和 𝐵 B 的并集 | 𝐴 ∪𝐵 :={𝑥 | 𝑥 ∈𝐴 ∨𝑥 ∈𝐵}A∪B:={x | x∈A∨x∈B}; :=:= 的定义参见 n4.3
n2.10 | 𝐴 ∩𝐵 A∩B | 𝐴 A 和 𝐵 B 的交集 | 𝐴 ∩𝐵 :={𝑥 | 𝑥 ∈𝐴 ∧𝑥 ∈𝐵}A∩B:={x | x∈A∧x∈B}; :=:= 的定义参见 n4.3
n2.11 | 𝑛⋃𝑖=1 𝐴 𝑖⋃i=1 n A i | 集合 𝐴 1,𝐴 2,…,𝐴 𝑛 A 1,A 2,…,A n 的并集 | 𝑛⋃𝑖=1 𝐴 𝑖 =𝐴 1 ∪𝐴 2 ∪⋯ ∪𝐴 𝑛⋃i=1 n A i=A 1∪A 2∪⋯∪A n; 也可使用 ⋃𝑛 𝑖=1⋃i=1 n，⋃𝑖∈𝐼⋃i∈I，⋃𝑖∈𝐼⋃i∈I, 其中 𝐼 I 表示指标集； 进一步，令 𝑃(𝑖)P(i) 为某个与 𝑖 i 相关的命题，可使用 ⋃𝑃(𝑖)𝐴 𝑖⋃P(i)A i 表示所有使 𝑃(𝑖)P(i) 为真的 𝑖 i 对应的 𝐴 𝑖 A i 之并集
n2.12 | 𝑛⋂𝑖=1 𝐴 𝑖⋂i=1 n A i | 集合 𝐴 1,𝐴 2,…,𝐴 𝑛 A 1,A 2,…,A n 的交集 | 𝑛⋂𝑖=1 𝐴 𝑖 =𝐴 1 ∩𝐴 2 ∩⋯ ∩𝐴 𝑛⋂i=1 n A i=A 1∩A 2∩⋯∩A n; 也可使用 ⋂𝑛 𝑖=1⋂i=1 n，⋂𝑖∈𝐼⋂i∈I，⋂𝑖∈𝐼⋂i∈I, 其中 𝐼 I 表示指标集； 进一步，令 𝑃(𝑖)P(i) 为某个与 𝑖 i 相关的命题，可使用 ⋂𝑃(𝑖)𝐴 𝑖⋂P(i)A i 表示所有使 𝑃(𝑖)P(i) 为真的 𝑖 i 对应的 𝐴 𝑖 A i 之交集
n2.13 | 𝐴 ∖𝐵 A∖B | 𝐴 A 和 𝐵 B 的差集 | 𝐴 ∖𝐵 ={𝑥 | 𝑥 ∈𝐴 ∧𝑥 ∉𝐵}A∖B={x | x∈A∧x∉B}; 不应使用 𝐴 −𝐵 A−B; 当 𝐵 B 是 𝐴 A 的子集时也可使用 ∁𝐴 𝐵∁A B, 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 𝐴 A，则 𝐴 A 可以省略． 不引起歧义的情况下也可使用 ――𝐵 B― 表示集合 𝐵 B 的补集．
n2.14 | (𝑎,𝑏)(a,b) | 有序数对 𝑎 a，𝑏 b; 有序偶 𝑎 a，𝑏 b | (𝑎,𝑏) =(𝑐,𝑑)(a,b)=(c,d) 当且仅当 𝑎 =𝑐 a=c 且 𝑏 =𝑑 b=d.
n2.15 | (𝑎 1,𝑎 2,…,𝑎 𝑛)(a 1,a 2,…,a n) | 有序 𝑛 n 元组 | 参见 n2.14.
n2.16 | 𝐴 ×𝐵 A×B | 集合 𝐴 A 和 𝐵 B 的笛卡尔积 | 𝐴 ×𝐵 ={(𝑥,𝑦) | 𝑥 ∈𝐴 ∧𝑦 ∈𝐵}A×B={(x,y) | x∈A∧y∈B}.
n2.17 | 𝑛∏𝑖=1 𝐴 𝑖∏i=1 n A i | 集合 𝐴 1,𝐴 2,…,𝐴 𝑛 A 1,A 2,…,A n 的笛卡尔积 | 𝑛∏𝑖=1 𝐴 𝑖 ={(𝑥 1,𝑥 2,…,𝑥 𝑛) | 𝑥 1 ∈𝐴 1,𝑥 2 ∈𝐴 2,…,𝑥 𝑛 ∈𝐴 𝑛}∏i=1 n A i={(x 1,x 2,…,x n) | x 1∈A 1,x 2∈A 2,…,x n∈A n}; 𝐴 ×𝐴 ×⋯ ×𝐴 A×A×⋯×A 记为 𝐴 𝑛 A n, 其中 𝑛 n 是乘积中的因子数； 该符号的另一种用法参见 n6.8
n2.18 | i d 𝐴 id A | 𝐴 ×𝐴 A×A 的对角集 | i d 𝐴 ={(𝑥,𝑥) | 𝑥 ∈𝐴}id A={(x,x) | x∈A}; 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 𝐴 A, 则 𝐴 A 可以省略．
n2.19 | 𝟏 𝐴 1 A | 指示函数 | 𝟏 𝐴(𝑎) =[𝑎 ∈𝐴]1 A(a)=[a∈A]，[ ⋅][⋅] 的定义参见 n6.24．
n2.20 | P(𝐴)P(A); 2 𝐴 2 A | 幂集 | P(𝐴) ={𝑆 :𝑆 ⊆𝐴}P(A)={S:S⊆A}

## 标准数集和区间

编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例
--- | --- | --- | ---
n3.1 | 𝐍 N | 自然数集 | 𝐍 ={0,1,2,3,…}N={0,1,2,3,…}; 𝐍∗ =𝐍+ ={1,2,3,…}N∗=N+={1,2,3,…}; 可用如下方式添加其他限制：𝐍>5 ={𝑛 ∈𝐍 | 𝑛 >5}N>5={n∈N | n>5}; 也可使用 ℕ N.
n3.2 | 𝐙 Z | 整数集 | 𝐙∗ =𝐙+ ={𝑛 ∈𝐙 | 𝑛 ≠0}Z∗=Z+={n∈Z | n≠0}; 可用如下方式添加其他限制：𝐙>−3 ={𝑛 ∈𝐙 | 𝑛 > −3}Z>−3={n∈Z | n>−3}; 也可使用 ℤ Z.
n3.3 | 𝐐 Q | 有理数集 | 𝐐∗ =𝐐+ ={𝑟 ∈𝐐 | 𝑟 ≠0}Q∗=Q+={r∈Q | r≠0}; 可用如下方式添加其他限制：𝐐<0 ={𝑟 ∈𝐐 | 𝑟 <0}Q<0={r∈Q | r<0}; 也可使用 ℚ Q.
n3.4 | 𝐑 R | 实数集 | 𝐑∗ =𝐑+ ={𝑥 ∈𝐑 | 𝑥 ≠0}R∗=R+={x∈R | x≠0}; 可用如下方式添加其他限制：𝐑>0 ={𝑥 ∈𝐑 | 𝑥 >0}R>0={x∈R | x>0}; 也可使用 ℝ R.
n3.5 | 𝐂 C | 复数集 | 𝐂∗ =𝐂+ ={𝑧 ∈𝐂 | 𝑧 ≠0}C∗=C+={z∈C | z≠0}; 也可使用 ℂ C.
n3.6 | 𝐏 P | （正）素数集 | 𝐏 ={2,3,5,7,1 1,1 3,1 7,…}P={2,3,5,7,11,13,17,…}; 也可使用 ℙ P.
n3.7 | [𝑎,𝑏][a,b] | 𝑎 a 到 𝑏 b 的闭区间 | [𝑎,𝑏] ={𝑥 ∈𝐑 | 𝑎 ≤𝑥 ≤𝑏}[a,b]={x∈R | a≤x≤b}.
n3.8 | (𝑎,𝑏](a,b] | 𝑎 a 到 𝑏 b 的左开右闭区间 | (𝑎,𝑏] ={𝑥 ∈𝐑 | 𝑎 <𝑥 ≤𝑏}(a,b]={x∈R | a<x≤b}; ( −∞,𝑏] ={𝑥 ∈𝐑 | 𝑥 ≤𝑏}(−∞,b]={x∈R | x≤b}.
n3.9 | [𝑎,𝑏)[a,b) | 𝑎 a 到 𝑏 b 的左闭右开区间 | [𝑎,𝑏) ={𝑥 ∈𝐑 | 𝑎 ≤𝑥 <𝑏}[a,b)={x∈R | a≤x<b}; [𝑎, +∞) ={𝑥 ∈𝐑 | 𝑎 ≤𝑥}[a,+∞)={x∈R | a≤x}.
n3.10 | (𝑎,𝑏)(a,b) | 𝑎 a 到 𝑏 b 的开区间 | (𝑎,𝑏) ={𝑥 ∈𝐑 | 𝑎 <𝑥 <𝑏}(a,b)={x∈R | a<x<b}; ( −∞,𝑏) ={𝑥 ∈𝐑 | 𝑥 <𝑏}(−∞,b)={x∈R | x<b}; (𝑎, +∞) ={𝑥 ∈𝐑 | 𝑎 <𝑥}(a,+∞)={x∈R | a<x}.

## 关系

编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例
--- | --- | --- | ---
n4.1 | 𝑎 =𝑏 a=b | 𝑎 a 等于 𝑏 b | ≡≡ 用于强调某等式是恒等式 该符号的另一个含义参见 n4.18.
n4.2 | 𝑎 ≠𝑏 a≠b | 𝑎 a 不等于 𝑏 b |
n4.3 | 𝑎 :=𝑏 a:=b | 𝑎 a 定义为 𝑏 b | 参见 n2.9,n2.10
n4.4 | 𝑎 ≈𝑏 a≈b | 𝑎 a 约等于 𝑏 b | 不排除相等．
n4.5 | 𝑎 ≃𝑏 a≃b | 𝑎 a 渐近等于 𝑏 b | 例如： 当 𝑥 →𝑎 x→a 时，1 s i n⁡(𝑥−𝑎) ≃1 𝑥−𝑎 1 sin⁡(x−a)≃1 x−a; 𝑥 →𝑎 x→a 的含义参见 n4.15.
n4.6 | 𝑎 ∝𝑏 a∝b | 𝑎 a 与 𝑏 b 成正比 | 也可使用 𝑎 ∼𝑏 a∼b. ∼∼ 也用于表示等价关系．
n4.7 | 𝑀 ≅𝑁 M≅N | 𝑀 M 与 𝑁 N 全等 | 当 𝑀 M 和 𝑁 N 是点集（几何图形）时． 该符号也用于表示代数结构的同构．
n4.8 | 𝑎 <𝑏 a<b | 𝑎 a 小于 𝑏 b |
n4.9 | 𝑏 >𝑎 b>a | 𝑏 b 大于 𝑎 a |
n4.10 | 𝑎 ≤𝑏 a≤b | 𝑎 a 小于等于 𝑏 b |
n4.11 | 𝑏 ≥𝑎 b≥a | 𝑏 b 大于等于 𝑎 a |
n4.12 | 𝑎 ≪𝑏 a≪b | 𝑎 a 远小于 𝑏 b |
n4.13 | 𝑏 ≫𝑎 b≫a | 𝑏 b 远大于 𝑎 a |
n4.14 | ∞∞ | 无穷大 | 该符号 不 是数字． 也可以使用 +∞+∞，−∞−∞.
n4.15 | 𝑥 →𝑎 x→a | 𝑥 x 趋近于 𝑎 a | 一般出现在极限表达式中． 𝑎 a 也可以为 ∞∞，+∞+∞，−∞−∞.
n4.16 | 𝑚 ∣𝑛 m∣n | 𝑚 m 整除 𝑛 n | 对整数 𝑚 m，𝑛 n: (∃ 𝑘 ∈𝐙) 𝑚 ⋅𝑘 =𝑛(∃ k∈Z) m⋅k=n.
n4.17 | 𝑚 ⟂𝑛 m⟂n | 𝑚 m 与 𝑛 n 互质 | 对整数 𝑚 m，𝑛 n: (∄ 𝑘 ∈𝐙>1) (𝑘 ∣𝑚) ∧(𝑘 ∣𝑛)(∄ k∈Z>1) (k∣m)∧(k∣n); 该符号的另一种用法参见 n5.2
n4.18 | 𝑛 ≡𝑘(m o d 𝑚)n≡k(mod m) | 𝑛 n 模 𝑚 m 与 𝑘 k 同余 | 对整数 𝑛 n，𝑘 k，𝑚 m: 𝑚 ∣(𝑛 −𝑘)m∣(n−k); 不要与 n4.1 中提到的相混淆．

## 初等几何学

编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例
--- | --- | --- | ---
n5.1 | ∥∥ | 平行 |
n5.2 | ⟂⟂ | 垂直 | 该符号的另一种用法参见 n4.17
n5.3 | ∠∠ | （平面）角 |
n5.4 | ―――A B AB― | 线段 A B AB |
n5.5 | ⟶A B AB→ | 有向线段 A B AB |
n5.6 | 𝑑(A,B)d(A,B) | 点 A A 和 B B 之间的距离 | 即 ―――A B AB― 的长度．

## 运算符

编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例
--- | --- | --- | ---
n6.1 | 𝑎 +𝑏 a+b | 𝑎 a 加 𝑏 b |
n6.2 | 𝑎 −𝑏 a−b | 𝑎 a 减 𝑏 b |
n6.3 | 𝑎 ±𝑏 a±b | 𝑎 a 加或减 𝑏 b |
n6.4 | 𝑎 ∓𝑏 a∓b | 𝑎 a 减或加 𝑏 b | −(𝑎 ±𝑏) = −𝑎 ∓𝑏−(a±b)=−a∓b.
n6.5 | 𝑎 ⋅𝑏 a⋅b; 𝑎 ×𝑏 a×b; 𝑎 𝑏 a b | 𝑎 a 乘 𝑏 b | 若出现小数点，则应只使用 ××; 部分用例参见 n2.16,n2.17,n14.11,n14.12
n6.6 | 𝑎 𝑏 a b; 𝑎/𝑏 a/b; 𝑎 :𝑏 a:b | 𝑎 a 除以 𝑏 b | 𝑎 𝑏 =𝑎 ⋅𝑏−1 a b=a⋅b−1; 可用 :: 表示同一量纲的数值的比率． 不应使用 ÷÷.
n6.7 | 𝑛∑𝑖=1 𝑎 𝑖∑i=1 n a i | 𝑎 1 +𝑎 2 +⋯ +𝑎 𝑛 a 1+a 2+⋯+a n | 也可使用 ∑𝑛 𝑖=1 𝑎 𝑖∑i=1 n a i，∑𝑖 𝑎 𝑖∑i a i，∑𝑖 𝑎 𝑖∑i a i，∑𝑎 𝑖∑a i； 令 𝑃(𝑖)P(i) 为某个与 𝑖 i 相关的命题，可使用 ∑𝑃(𝑖)𝑎 𝑖∑P(i)a i 表示所有使 𝑃(𝑖)P(i) 为真的 𝑖 i 对应的 𝑎 𝑖 a i 之和．
n6.8 | 𝑛∏𝑖=1 𝑎 𝑖∏i=1 n a i | 𝑎 1 ⋅𝑎 2 ⋅⋯ ⋅𝑎 𝑛 a 1⋅a 2⋅⋯⋅a n | 也可使用 ∏𝑛 𝑖=1 𝑎 𝑖∏i=1 n a i，∏𝑖 𝑎 𝑖∏i a i，∏𝑖 𝑎 𝑖∏i a i，∏𝑎 𝑖∏a i； 令 𝑃(𝑖)P(i) 为某个与 𝑖 i 相关的命题，可使用 ∏𝑃(𝑖)𝑎 𝑖∏P(i)a i 表示所有使 𝑃(𝑖)P(i) 为真的 𝑖 i 对应的 𝑎 𝑖 a i 之积； 该符号的另一种用法参见 n2.17
n6.9 | 𝑎 𝑝 a p | 𝑎 a 的 𝑝 p 次幂 |
n6.10 | 𝑎 1/2 a 1/2; √𝑎 a | 𝑎 a 的 1/2 1/2 次方，𝑎 a 的平方根 | 应避免使用 √𝑎 a.
n6.11 | 𝑎 1/𝑛 a 1/n; 𝑛√𝑎 a n | 𝑎 a 的 1/𝑛 1/n 次幂，𝑎 a 的 𝑛 n 次根 | 应避免使用 𝑛√𝑎 n a.
n6.12 | ¯𝑥 x¯; ¯𝑥 𝑎 x¯a | 𝑥 x 的算数均值 | 其他均值有： 调和均值 ¯𝑥 ℎ x¯h; 几何均值 ¯𝑥 𝑔 x¯g; 二次均值/均方根 ¯𝑥 𝑞 x¯q 或 ¯𝑥 𝑟 𝑚 𝑠 x¯r m s. ¯𝑥 x¯ 也用于表示复数 𝑥 x 的共轭，参见 n11.6.
n6.13 | s g n⁡𝑎 sgn⁡a | 𝑎 a 的符号函数 | 对实数 𝑎 a: s g n⁡𝑎 =1 (𝑎 >0)sgn⁡a=1(a>0); s g n⁡𝑎 = −1 (𝑎 <0)sgn⁡a=−1(a<0); s g n⁡0 =0 sgn⁡0=0; 参见 n11.7.
n6.14 | i n f 𝑀 inf M | 𝑀 M 的下确界 | 小于等于非空集合 𝑀 M 中元素的最大上界．
n6.15 | s u p 𝑀 sup M | 𝑀 M 的上确界 | 大于等于非空集合 𝑀 M 中元素的最小下界．
n6.16 | |𝑎||a| | 𝑎 a 的绝对值 | 也可使用 a b s⁡𝑎 abs⁡a.
n6.17 | ⌊𝑎⌋⌊a⌋ | 向下取整 小于等于实数 𝑎 a 的最大整数 | 例如： ⌊2.4⌋ =2⌊2.4⌋=2; ⌊ −2.4⌋ = −3⌊−2.4⌋=−3.
n6.18 | ⌈𝑎⌉⌈a⌉ | 向上取整 大于等于实数 𝑎 a 的最小整数 | 例如： ⌈2.4⌉ =3⌈2.4⌉=3; ⌈ −2.4⌉ = −2⌈−2.4⌉=−2.
n6.19 | m i n(𝑎,𝑏)min(a,b); m i n{𝑎,𝑏}min{a,b} | 𝑎 a 和 𝑏 b 的最小值 | 可推广到有限集中． 要表示无限集中的最小值建议使用 i n f inf, 参见 n6.14
n6.20 | m a x(𝑎,𝑏)max(a,b); m a x{𝑎,𝑏}max{a,b} | 𝑎 a 和 𝑏 b 的最大值 | 可推广到有限集中． 要表示无限集中的最大值建议使用 s u p sup, 参见 n6.15
n6.21 | 𝑛 m o d 𝑚 n mod m | 𝑛 n 模 𝑚 m 的余数 | 对正整数 𝑛 n，𝑚 m: (∃ 𝑞 ∈𝐍,𝑟 ∈[0,𝑚)) 𝑛 =𝑞 𝑚 +𝑟(∃ q∈N,r∈[0,m)) n=q m+r; 其中 𝑟 =𝑛 m o d 𝑚 r=n mod m.
n6.22 | g c d(𝑎,𝑏)gcd(a,b); g c d{𝑎,𝑏}gcd{a,b} | 整数 𝑎 a 和 𝑏 b 的最大公因数 | 可推广到有限集中．不引起歧义的情况下可写为 (𝑎,𝑏)(a,b).
n6.23 | l c m⁡(𝑎,𝑏)lcm⁡(a,b); l c m⁡{𝑎,𝑏}lcm⁡{a,b} | 整数 𝑎 a 和 𝑏 b 的最小公倍数 | 可推广到有限集中．不引起歧义的情况下可写为 [𝑎,𝑏][a,b]; (𝑎,𝑏)[𝑎,𝑏] =|𝑎 𝑏|(a,b)[a,b]=|a b|.
n6.24 | [𝑃][P] | Iverson 括号 | 若命题 𝑃 P 为真，则 [𝑃] =1[P]=1，否则 [𝑃] =0[P]=0．
n6.25 | 𝑎 ↑𝑏 a↑b； 𝑎 ↑𝑛 𝑏 a↑n b | Knuth 箭头 | 对非负整数 𝑎,𝑏,𝑛 a,b,n： 𝑎 ↑𝑛 𝑏 =𝑎 ↑⋯↑⏟𝑛 t i m e s 𝑏 a↑n b=a ↑⋯↑⏟n times b； 𝑎 ↑0 𝑏 =𝑎 𝑏 a↑0 b=a b； 𝑎 ↑1 𝑏 =𝑎 ↑𝑏 =𝑎 𝑏 a↑1 b=a↑b=a b； 𝑎 ↑𝑛 0 =1 (𝑛 >0)a↑n 0=1(n>0)； 𝑎 ↑𝑛 𝑏 =𝑎 ↑𝑛−1(𝑎 ↑𝑛(𝑏 −1))a↑n b=a↑n−1(a↑n(b−1)).
n6.26 | [𝑥 𝑛]𝑓(𝑥)[x n]f(x) | 多项式/形式幂级数/形式 Laurent 级数 𝑓(𝑥)f(x) 中 𝑥 𝑛 x n 项的系数 | 若 𝑓(𝑥) =∑𝑖 𝑎 𝑖 𝑥 𝑖 f(x)=∑i a i x i，则 [𝑥 𝑛]𝑓(𝑥) =𝑎 𝑛[x n]f(x)=a n； 可推广到多元情况，如若 𝑓(𝑥,𝑦) =∑𝑖,𝑗 𝑎 𝑖,𝑗 𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 f(x,y)=∑i,j a i,j x i y j，则 [𝑥 𝑛 𝑦 𝑚]𝑓(𝑥,𝑦) =𝑎 𝑛,𝑚[x n y m]f(x,y)=a n,m.

## 组合数学

本节中的 𝑛 n 和 𝑘 k 是自然数，𝑎 a 是复数，且 𝑘 ≤𝑛 k≤n.

编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例
--- | --- | --- | ---
n7.1 | 𝑛!n! | 阶乘 | 𝑛! =∏𝑛 𝑘=1 𝑘 =1 ⋅2 ⋅3 ⋅⋯ ⋅𝑛 (𝑛 >0)n!=∏k=1 n k=1⋅2⋅3⋅⋯⋅n(n>0); 0! =1 0!=1.
n7.2 | 𝑎 𝑘――a k―; (𝑎)−𝑘(a)−k | 下降阶乘幂 | 𝑎 𝑘―― =𝑎 ⋅(𝑎 −1) ⋅⋯ ⋅(𝑎 −𝑘 +1) (𝑘 >0)a k―=a⋅(a−1)⋅⋯⋅(a−k+1)(k>0); 𝑎 0―― =1 a 0―=1; 𝑛 𝑘―― =𝑛!(𝑛−𝑘)!n k―=n!(n−k)!.
n7.3 | 𝑎――𝑘 a k―; (𝑎)+𝑘(a)+k | 上升阶乘幂 | 𝑎――𝑘 =𝑎 ⋅(𝑎 +1) ⋅⋯ ⋅(𝑎 +𝑘 −1) (𝑘 >0)a k―=a⋅(a+1)⋅⋯⋅(a+k−1)(k>0); 𝑎――0 =1 a 0―=1; 𝑛――𝑘 =(𝑛+𝑘−1)!(𝑛−1)!n k―=(n+k−1)!(n−1)!.
n7.4 | (𝑛 𝑘)(n k) | 组合数 | (𝑛 𝑘) =𝑛!𝑘!(𝑛−𝑘)!(n k)=n!k!(n−k)!.
n7.5 | [𝑛 𝑘][n k] | 第一类 Stirling 数 | [𝑛+1 𝑘] =𝑛[𝑛 𝑘] +[𝑛 𝑘−1][n+1 k]=n[n k]+[n k−1]; 𝑥――𝑛 =𝑛∑𝑘=0[𝑛 𝑘]𝑥 𝑘 x n―=∑k=0 n[n k]x k.
n7.6 | {𝑛 𝑘}{n k} | 第二类 Stirling 数 | {𝑛 𝑘} =1 𝑘!𝑘∑𝑖=0( −1)𝑖(𝑘 𝑖)(𝑘 −𝑖)𝑛{n k}=1 k!∑i=0 k(−1)i(k i)(k−i)n; 𝑛∑𝑘=0{𝑛 𝑘}𝑥 𝑘―― =𝑥 𝑛∑k=0 n{n k}x k―=x n.

## 函数

编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例
--- | --- | --- | ---
n8.1 | 𝑓 f | 函数 |
n8.2 | 𝑓(𝑥)f(x)，𝑓(𝑥 1,…,𝑥 𝑛)f(x 1,…,x n) | 函数 𝑓 f 在 𝑥 x 处的值 函数 𝑓 f 在 (𝑥 1,…,𝑥 𝑛)(x 1,…,x n) 处的值 |
n8.3 | d o m⁡𝑓 dom⁡f | 𝑓 f 的定义域 | 也可使用 D(𝑓)D(f).
n8.4 | r a n⁡𝑓 ran⁡f | 𝑓 f 的值域 | 也可使用 R(𝑓)R(f).
n8.5 | 𝑓 :𝐴 →𝐵 f:A→B | 𝑓 f 是 𝐴 A 到 𝐵 B 的映射 | d o m⁡𝑓 =𝐴 dom⁡f=A 且 (∀ 𝑥 ∈d o m⁡𝑓) 𝑓(𝑥) ∈𝐵(∀ x∈dom⁡f) f(x)∈B.
n8.6 | 𝑥 ↦𝑇(𝑥),𝑥 ∈𝐴 x↦T(x),x∈A | 将所有 𝑥 ∈𝐴 x∈A 映射到 𝑇(𝑥)T(x) 的函数 | 𝑇(𝑥)T(x) 仅用于定义，用来表示某个参数为 𝑥 ∈𝐴 x∈A 的某个函数值．若这个函数为 𝑓 f, 则对所有 𝑥 ∈𝐴 x∈A 均有 𝑓(𝑥) =𝑇(𝑥)f(x)=T(x). 因此 𝑇(𝑥)T(x) 通常用来定义函数 𝑓 f. 例如： 𝑥 ↦3 𝑥 2 𝑦,𝑥 ∈[0,2]x↦3 x 2 y,x∈[0,2]; 这是由 3 𝑥 2 𝑦 3 x 2 y 定义的一个关于 𝑥 x 的二次函数．若未引入函数符号，则用 3 𝑥 2 𝑦 3 x 2 y 表示该函数
n8.7 | 𝑓−1 f−1 | 𝑓 f 的反函数 | 函数 𝑓 f 的反函数 𝑓−1 f−1 有定义当且仅当 𝑓 f 是单射． 若 𝑓 f 是单射，则 d o m⁡(𝑓−1) =r a n⁡𝑓 dom⁡(f−1)=ran⁡f，r a n⁡(𝑓−1) =d o m⁡𝑓 ran⁡(f−1)=dom⁡f, 且 (∀ 𝑥 ∈d o m⁡𝑓) 𝑓−1(𝑓(𝑥)) =𝑥(∀ x∈dom⁡f) f−1(f(x))=x. 不要与函数的倒数 𝑓(𝑥)−1 f(x)−1 混淆．
n8.8 | 𝑔 ∘𝑓 g∘f | 𝑓 f 和 𝑔 g 的复合函数 | (𝑔 ∘𝑓)(𝑥) =𝑔(𝑓(𝑥))(g∘f)(x)=g(f(x)).
n8.9 | 𝑓 :𝑥 ↦𝑦 f:x↦y | 𝑓(𝑥) =𝑦 f(x)=y，𝑓 f 将 𝑥 x 映射到 𝑦 y |
n8.10 | 𝑓|𝑏 𝑎 f|a b; 𝑓(…,𝑢,…)|𝑢=𝑏 𝑢=𝑎 f(…,u,…)|u=a u=b | 𝑓(𝑏) −𝑓(𝑎)f(b)−f(a); 𝑓(…,𝑏,…) −𝑓(…,𝑎,…)f(…,b,…)−f(…,a,…) | 主要用于定积分的计算中．
n8.11 | l i m 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)lim x→a f(x); l i m 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)lim x→a f(x) | 当 𝑥 x 趋近于 𝑎 a 时 𝑓(𝑥)f(x) 的极限 | l i m 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) =𝑏 lim x→a f(x)=b 可以写成 𝑓(𝑥) →𝑏 (𝑥 →𝑎)f(x)→b(x→a). 右极限和左极限的符号分别为 l i m 𝑥→𝑎+𝑓(𝑥)lim x→a+f(x) 和 l i m 𝑥→𝑎−𝑓(𝑥)lim x→a−f(x).
n8.12 | 𝑓(𝑥) =𝑂(𝑔(𝑥))f(x)=O(g(x)) | |𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)||f(x)/g(x)| 在上下文隐含的限制中有上界，𝑓(𝑥)f(x) 的阶不高于 𝑔(𝑥)g(x) | 当 𝑓/𝑔 f/g 与 𝑔/𝑓 g/f 均有界时称 𝑓 f 与 𝑔 g 是同阶的． 使用符号 "==" 是出于历史原因，其在此处不表示等价，因为不满足传递性． 例如： s i n⁡𝑥 =𝑂(𝑥) (𝑥 →0)sin⁡x=O(x)(x→0).
n8.13 | 𝑓(𝑥) =𝑜(𝑔(𝑥))f(x)=o(g(x)) | 在上下文隐含的限制中有 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) →0 f(x)/g(x)→0，𝑓(𝑥)f(x) 的阶高于 𝑔(𝑥)g(x) | 使用符号 "==" 是出于历史原因，其在此处不表示等价，因为不满足传递性． 例如： c o s⁡𝑥 =1 +𝑜(𝑥) (𝑥 →0)cos⁡x=1+o(x)(x→0).
n8.14 | Δ 𝑓 Δ f | 𝑓 f 的有限增量 | 上下文隐含的两函数值的差分．例如： Δ 𝑥 =𝑥 2 −𝑥 1 Δ x=x 2−x 1; Δ 𝑓(𝑥) =𝑓(𝑥 2) −𝑓(𝑥 1)Δ f(x)=f(x 2)−f(x 1).
n8.15 | d 𝑓 d 𝑥 d f d x; 𝑓′f′ | 𝑓 f 对 𝑥 x 的导（函）数 | 仅用于一元函数． 可以显式指明自变量，如 d 𝑓(𝑥)d 𝑥 d f(x)d x，𝑓′(𝑥)f′(x).
n8.16 | (d 𝑓 d 𝑥)𝑥=𝑎(d f d x)x=a; 𝑓′(𝑎)f′(a) | 𝑓 f 在 𝑎 a 处的导（函）数值 | 参见 n8.15
n8.17 | d 𝑛 𝑓 d 𝑥 𝑛 d n f d x n; 𝑓(𝑛)f(n) | 𝑓 f 对 𝑥 x 的 𝑛 n 阶导（函）数 | 仅用于一元函数． 可以显式指明自变量，如 d 𝑛 𝑓(𝑥)d 𝑥 𝑛 d n f(x)d x n，𝑓(𝑛)(𝑥)f(n)(x). 可用 𝑓″f″ 和 𝑓‴f‴ 分别表示 𝑓(2)f(2) 和 𝑓(3)f(3).
n8.18 | 𝜕𝑓𝜕𝑥∂f∂x; 𝑓 𝑥 f x | 𝑓 f 对 𝑥 x 的偏导数 | 仅用于多元函数． 可以显式指明自变量，如 𝜕𝑓(𝑥,𝑦,…)𝜕𝑥∂f(x,y,…)∂x，𝑓 𝑥(𝑥,𝑦,…)f x(x,y,…). 可以扩展到高阶，如 𝑓 𝑥 𝑥 =𝜕2 𝑓𝜕𝑥 2 =𝜕𝜕𝑥(𝜕𝑓𝜕𝑥)f x x=∂2 f∂x 2=∂∂x(∂f∂x); 𝑓 𝑥 𝑦 =𝜕2 𝑓𝜕𝑦𝜕𝑥 =𝜕𝜕𝑦(𝜕𝑓𝜕𝑥)f x y=∂2 f∂y∂x=∂∂y(∂f∂x).
n8.19 | 𝜕(𝑓 1,…,𝑓 𝑚)𝜕(𝑥 1,…,𝑥 𝑛)∂(f 1,…,f m)∂(x 1,…,x n) | Jacobi 矩阵 | 参见1
n8.20 | d 𝑓 d f | 𝑓 f 的全微分 | d 𝑓(𝑥,𝑦,…) =𝜕𝑓𝜕𝑥 d 𝑥 +𝜕𝑓𝜕𝑦 d 𝑦 +…d f(x,y,…)=∂f∂x d x+∂f∂y d y+….
n8.21 | 𝛿 𝑓 δ f | 𝑓 f 的（无穷小）变分 |
n8.22 | ∫𝑓(𝑥)d 𝑥∫f(x)d x | 𝑓 f 的不定积分 |
n8.23 | 𝑏∫𝑎 𝑓(𝑥)d 𝑥∫a b f(x)d x | 𝑓 f 从 𝑎 a 到 𝑏 b 的定积分 | 也可使用 ∫𝑏 𝑎 𝑓(𝑥)d 𝑥∫a b f(x)d x; 定积分还可以定义在更一般的域上．如 ∫𝐶∫C，∫𝑆∫S，∫𝑉∫V，∮∮, 分别表示在曲线 𝐶 C, 曲面 𝑆 S, 三维区域 𝑉 V, 和闭曲线或曲面上的定积分． 多重积分可写成 ∬∬，∭∭ 等．
n8.24 | 𝑓 ∗𝑔 f∗g | 函数 𝑓 f 和 𝑔 g 的卷积 | (𝑓 ∗𝑔)(𝑥) =∞∫−∞𝑓(𝑦)𝑔(𝑥 −𝑦)d 𝑦(f∗g)(x)=∫−∞∞f(y)g(x−y)d y.

## 指数和对数函数

𝑥 x 可以是复数．

编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例
--- | --- | --- | ---
n9.1 | e e | 自然对数的底 | e =l i m 𝑛→∞(1+1 𝑛)𝑛 =2.7 1 8 2 8 1 8…e=lim n→∞(1+1 n)n=2.718 281 8…; 不要写成 𝑒 e.
n9.2 | 𝑎 𝑥 a x | 𝑥 x 的指数函数（以 𝑎 a 为底） | 参见 n6.9.
n9.3 | e 𝑥 e x; e x p⁡𝑥 exp⁡x | 𝑥 x 的指数函数（以 e e 为底） |
n9.4 | l o g 𝑎⁡𝑥 log a⁡x | 𝑥 x 的以 𝑎 a 为底的对数 | 当底数不需要指定的时候可以使用 l o g⁡𝑥 log⁡x. 不应用 l o g⁡𝑥 log⁡x 替换 l n⁡𝑥 ln⁡x，l g⁡𝑥 lg⁡x，l b⁡𝑥 lb⁡x 中的任意一个．
n9.5 | l n⁡𝑥 ln⁡x | 𝑥 x 的自然对数 | l n⁡𝑥 =l o g e⁡𝑥 ln⁡x=log e⁡x; 参见 n9.4.
n9.6 | l g⁡𝑥 lg⁡x | 𝑥 x 的常用对数 | l g⁡𝑥 =l o g 1 0⁡𝑥 lg⁡x=log 10⁡x; 参见 n9.4.
n9.7 | l b⁡𝑥 lb⁡x | 𝑥 x 的以 2 2 为底的对数 | l b⁡𝑥 =l o g 2⁡𝑥 lb⁡x=log 2⁡x; 参见 n9.4.

## 三角函数和双曲函数

编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例
--- | --- | --- | ---
n10.1 | 𝜋 π | 圆周率 | 𝜋 =3.1 4 1 5 9 2 6…π=3.141 592 6….
n10.2 | s i n⁡𝑥 sin⁡x | 𝑥 x 的正弦 | s i n⁡𝑥 =e i 𝑥−e−i 𝑥 2 i sin⁡x=e i x−e−i x 2 i; (s i n⁡𝑥)𝑛(sin⁡x)n，(c o s⁡𝑥)𝑛(cos⁡x)n(𝑛 ≥2 n≥2) 等通常写为 s i n 𝑛⁡𝑥 sin n⁡x，c o s 𝑛⁡𝑥 cos n⁡x 等．
n10.3 | c o s⁡𝑥 cos⁡x | 𝑥 x 的余弦 | c o s⁡𝑥 =s i n⁡(𝑥+𝜋/2)cos⁡x=sin⁡(x+π/2).
n10.4 | t a n⁡𝑥 tan⁡x | 𝑥 x 的正切 | t a n⁡𝑥 =s i n⁡𝑥/c o s⁡𝑥 tan⁡x=sin⁡x/cos⁡x; 不可使用 t g⁡𝑥 tg⁡x.
n10.5 | c o t⁡𝑥 cot⁡x | 𝑥 x 的余切 | c o t⁡𝑥 =1/t a n⁡𝑥 cot⁡x=1/tan⁡x; 不可使用 c t g⁡𝑥 ctg⁡x.
n10.6 | s e c⁡𝑥 sec⁡x | 𝑥 x 的正割 | s e c⁡𝑥 =1/c o s⁡𝑥 sec⁡x=1/cos⁡x.
n10.7 | c s c⁡𝑥 csc⁡x | 𝑥 x 的余割 | c s c⁡𝑥 =1/s i n⁡𝑥 csc⁡x=1/sin⁡x; 不可使用 c o s e c⁡𝑥 cosec⁡x.
n10.8 | a r c s i n⁡𝑥 arcsin⁡x | 𝑥 x 的反正弦 | 𝑦 =a r c s i n⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =s i n⁡𝑦 ( −𝜋/2 ≤𝑦 ≤𝜋/2)y=arcsin⁡x⟺x=sin⁡y(−π/2≤y≤π/2).
n10.9 | a r c c o s⁡𝑥 arccos⁡x | 𝑥 x 的反余弦 | 𝑦 =a r c c o s⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =c o s⁡𝑦 (0 ≤𝑦 ≤𝜋)y=arccos⁡x⟺x=cos⁡y(0≤y≤π).
n10.10 | a r c t a n⁡𝑥 arctan⁡x | 𝑥 x 反正切 | 𝑦 =a r c t a n⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =t a n⁡𝑦 ( −𝜋/2 ≤𝑦 ≤𝜋/2)y=arctan⁡x⟺x=tan⁡y(−π/2≤y≤π/2); 不可使用 a r c t g⁡𝑥 arctg⁡x.
n10.11 | a r c c o t⁡𝑥 arccot⁡x | 𝑥 x 反余切 | 𝑦 =a r c c o t⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =c o t⁡𝑦 (0 ≤𝑦 ≤𝜋)y=arccot⁡x⟺x=cot⁡y(0≤y≤π); 不可使用 a r c c t g⁡𝑥 arcctg⁡x.
n10.12 | a r c s e c⁡𝑥 arcsec⁡x | 𝑥 x 反正割 | 𝑦 =a r c s e c⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =s e c⁡𝑦 (0 ≤𝑦 ≤𝜋,𝑦 ≠𝜋/2)y=arcsec⁡x⟺x=sec⁡y(0≤y≤π,y≠π/2).
n10.13 | a r c c s c⁡𝑥 arccsc⁡x | 𝑥 x 的反余割 | 𝑦 =a r c c s c⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =c s c⁡𝑦 ( −𝜋/2 ≤𝑦 ≤𝜋/2,𝑦 ≠0)y=arccsc⁡x⟺x=csc⁡y(−π/2≤y≤π/2,y≠0); 不可使用 a r c c o s e c⁡𝑥 arccosec⁡x.
n10.14 | s i n h⁡𝑥 sinh⁡x | 𝑥 x 的双曲正弦 | s i n h⁡𝑥 =e 𝑥−e−𝑥 2 sinh⁡x=e x−e−x 2; 不可使用 s h⁡𝑥 sh⁡x.
n10.15 | c o s h⁡𝑥 cosh⁡x | 𝑥 x 的双曲余弦 | c o s h 2⁡𝑥 =s i n h 2⁡𝑥 +1 cosh 2⁡x=sinh 2⁡x+1; 不可使用 c h⁡𝑥 ch⁡x.
n10.16 | t a n h⁡𝑥 tanh⁡x | 𝑥 x 的双曲正切 | t a n h⁡𝑥 =s i n h⁡𝑥/c o s h⁡𝑥 tanh⁡x=sinh⁡x/cosh⁡x; 不可使用 t h⁡𝑥 th⁡x.
n10.17 | c o t h⁡𝑥 coth⁡x | 𝑥 x 的双曲余切 | c o t h⁡𝑥 =1/t a n h⁡𝑥 coth⁡x=1/tanh⁡x.
n10.18 | s e c h⁡𝑥 sech⁡x | 𝑥 x 的双曲正割 | s e c h⁡𝑥 =1/c o s h⁡𝑥 sech⁡x=1/cosh⁡x.
n10.19 | c s c h⁡𝑥 csch⁡x | 𝑥 x 的双曲余割 | c s c h⁡𝑥 =1/s i n h⁡𝑥 csch⁡x=1/sinh⁡x; 不可使用 c o s e c h⁡𝑥 cosech⁡x.
n10.20 | a r s i n h⁡𝑥 arsinh⁡x | 𝑥 x 的反双曲正弦 | 𝑦 =a r s i n h⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =s i n h⁡𝑦 y=arsinh⁡x⟺x=sinh⁡y; 不可使用 a r s h⁡𝑥 arsh⁡x.
n10.21 | a r c o s h⁡𝑥 arcosh⁡x | 𝑥 x 的反双曲余弦 | 𝑦 =a r c o s h⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =c o s h⁡𝑦 (𝑦 ≥0)y=arcosh⁡x⟺x=cosh⁡y(y≥0); 不可使用 a r c h⁡𝑥 arch⁡x.
n10.22 | a r t a n h⁡𝑥 artanh⁡x | 𝑥 x 的反双曲正切 | 𝑦 =a r t a n h⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =t a n h⁡𝑦 y=artanh⁡x⟺x=tanh⁡y; 不可使用 a r t h⁡𝑥 arth⁡x.
n10.23 | a r c o t h⁡𝑥 arcoth⁡x | 𝑥 x 的反双曲余切 | 𝑦 =a r c o t h⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =c o t h⁡𝑦 (𝑦 ≠0)y=arcoth⁡x⟺x=coth⁡y(y≠0).
n10.24 | a r s e c h⁡𝑥 arsech⁡x | 𝑥 x 的反双曲正割 | 𝑦 =a r s e c h⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =s e c h⁡𝑦 (𝑦 ≥0)y=arsech⁡x⟺x=sech⁡y(y≥0).
n10.25 | a r c s c h⁡𝑥 arcsch⁡x | 𝑥 x 的反双曲余割 | 𝑦 =a r c s c h⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =c s c h⁡𝑦 (𝑦 ≥0)y=arcsch⁡x⟺x=csch⁡y(y≥0); 不可使用 a r c o s e c h⁡𝑥 arcosech⁡x.

## 复数

编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例
--- | --- | --- | ---
n11.1 | i i | 虚数单位 | i 2 = −1 i 2=−1; 不可使用 𝑖 i 或 `i`
n11.2 | R e⁡𝑧 Re⁡z | 𝑧 z 的实部 | 参见 n11.3.
n11.3 | I m⁡𝑧 Im⁡z | 𝑧 z 的虚部 | 若 𝑧 =𝑥 +i 𝑦 (𝑥,𝑦 ∈𝐑)z=x+i y(x,y∈R), 则 𝑥 =R e⁡𝑧 x=Re⁡z，𝑦 =I m⁡𝑧 y=Im⁡z.
n11.4 | |𝑧||z| | 𝑧 z 的模 | |𝑧| =√(R e⁡𝑧)2+(I m⁡𝑧)2|z|=(Re⁡z)2+(Im⁡z)2.
n11.5 | a r g⁡𝑧 arg⁡z | 𝑧 z 的辐角 | 若 𝑧 =𝑟 e i 𝜑 z=r e i φ, 其中 𝑟 =|𝑧|r=|z| 且 −𝜋 <𝜑 ≤𝜋−π<φ≤π, 则 𝜑 =a r g⁡𝑧 φ=arg⁡z. R e⁡𝑧 =𝑟 c o s⁡𝜑 Re⁡z=r cos⁡φ，I m⁡𝑧 =𝑟 s i n⁡𝜑 Im⁡z=r sin⁡φ.
n11.6 | ¯𝑧 z¯; 𝑧∗z∗ | 𝑧 z 的复共轭 | ¯𝑧 =R e⁡𝑧 −i I m⁡𝑧 z¯=Re⁡z−i Im⁡z.
n11.7 | s g n⁡𝑧 sgn⁡z | 𝑧 z 的单位模函数 | s g n⁡𝑧 =𝑧/|𝑧| =e x p⁡(i a r g⁡𝑧) (𝑧 ≠0)sgn⁡z=z/|z|=exp⁡(i arg⁡z)(z≠0); s g n⁡0 =0 sgn⁡0=0; 参见 n6.13.

## 矩阵

编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例
--- | --- | --- | ---
n12.1 | 𝐴 A; 参见2 | 𝑚 ×𝑛 m×n 型矩阵 𝐴 A | 𝑎 𝑖 𝑗 =(𝐴)𝑖 𝑗 a i j=(A)i j; 也可使用 𝐴 =(𝑎 𝑖 𝑗)A=(a i j). 其中 𝑚 m 为行数，𝑛 n 为列数 𝑚 =𝑛 m=n 时称为方阵 可用方括号替代圆括号．
n12.2 | 𝐴 +𝐵 A+B | 矩阵 𝐴 A 和 𝐵 B 的和 | (𝐴 +𝐵)𝑖 𝑗 =(𝐴)𝑖 𝑗 +(𝐵)𝑖 𝑗(A+B)i j=(A)i j+(B)i j; 矩阵 𝐴 A 和 𝐵 B 的行数和列数必须分别相同．
n12.3 | 𝑥 𝐴 x A | 标量 𝑥 x 和矩阵 𝐴 A 的乘积 | (𝑥 𝐴)𝑖 𝑗 =𝑥(𝐴)𝑖 𝑗(x A)i j=x(A)i j.
n12.4 | 𝐴 𝐵 A B | 矩阵 𝐴 A 和 𝐵 B 的乘积 | (𝐴 𝐵)𝑖 𝑘 =∑𝑗(𝐴)𝑖 𝑗(𝐵)𝑗 𝑘(A B)i k=∑j(A)i j(B)j k; 矩阵 𝐴 A 的列数必须等于矩阵 𝐵 B 的行数．
n12.5 | 𝐼 I; 𝐸 E | 单位矩阵 | (𝐼)𝑖 𝑘 =𝛿 𝑖 𝑘(I)i k=δ i k; 𝛿 𝑖 𝑘 δ i k 的定义参见 n14.9.
n12.6 | 𝐴−1 A−1 | 方阵 𝐴 A 的逆 | 𝐴 𝐴−1 =𝐴−1 𝐴 =𝐼 (d e t⁡𝐴 ≠0)A A−1=A−1 A=I(det⁡A≠0). d e t⁡𝐴 det⁡A 的定义参见 n12.10.
n12.7 | 𝐴 T A T; 𝐴′A′ | 𝐴 A 的转置矩阵 | (𝐴 T)𝑖 𝑘 =(𝐴)𝑘 𝑖(A T)i k=(A)k i.
n12.8 | ――𝐴 A―; 𝐴∗A∗ | 𝐴 A 的复共轭矩阵 | (――𝐴)𝑖 𝑘 =――――(𝐴)𝑖 𝑘(A―)i k=(A)i k―.
n12.9 | 𝐴 H A H; 𝐴†A† | 𝐴 A 的 Hermite 共轭矩阵 | 𝐴 H =(――𝐴)T A H=(A―)T.
n12.10 | d e t⁡𝐴 det⁡A; 参见3 | 方阵 𝐴 A 的行列式 | 也可使用 |𝐴||A|.
n12.11 | r a n k⁡𝐴 rank⁡A | 矩阵 𝐴 A 的秩 |
n12.12 | t r⁡𝐴 tr⁡A | 方阵 𝐴 A 的迹 | t r⁡𝐴 =∑𝑖(𝐴)𝑖 𝑖 tr⁡A=∑i(A)i i.
n12.13 | ‖𝐴‖‖A‖ | 矩阵 𝐴 A 的范数 | 满足三角不等式：若 𝐴 +𝐵 =𝐶 A+B=C, 则 ‖𝐴‖ +‖𝐵‖ ≥‖𝐶‖‖A‖+‖B‖≥‖C‖.

## 坐标系

本节考虑三维空间中的一些坐标系．点 O O 为坐标系的 原点．任意点 P P 均由从原点 O O 到点 P P 的 位置向量 确定．

编号 | 坐标 | 位置向量和微分 | 坐标名 | 备注
--- | --- | --- | --- | ---
n13.1 | 𝑥 x，𝑦 y，𝑧 z | 𝒓 =𝑥 𝒆 𝑥 +𝑦 𝒆 𝑦 +𝑧 𝒆 𝑧 r=x e x+y e y+z e z; d 𝒓 =d 𝑥 𝒆 𝑥 +d 𝑦 𝒆 𝑦 +d 𝑧 𝒆 𝑧 d r=d x e x+d y e y+d z e z | 笛卡尔坐标 | 基向量 𝒆 𝑥 e x，𝒆 𝑦 e y，𝒆 𝑧 e z 构成右手正交系，见 图 1 和 图 4． 基向量也可用 𝒆 1 e 1，𝒆 2 e 2，𝒆 3 e 3 或 𝒊 i，𝒋 j，𝒌 k 表示，坐标也可用 𝑥 1 x 1，𝑥 2 x 2，𝑥 3 x 3 或 𝑖 i，𝑗 j，𝑘 k 表示．
n13.2 | 𝜌 ρ，𝜑 φ，𝑧 z | 𝒓 =𝜌 𝒆 𝜌 +𝑧 𝒆 𝑧 r=ρ e ρ+z e z; d 𝒓 =d 𝜌 𝒆 𝜌 +𝜌 d 𝜑 𝒆 𝜑 +d 𝑧 𝒆 𝑧 d r=d ρ e ρ+ρ d φ e φ+d z e z | 柱坐标 | 𝒆 𝜌(𝜑)e ρ(φ)，𝒆 𝜑(𝜑)e φ(φ)，𝒆 𝑧 e z 组成右手正交系，见 图 2． 若 𝑧 =0 z=0, 则 𝜌 ρ 和 𝜑 φ 是平面上的极坐标．
n13.3 | 𝑟 r，𝜗 ϑ，𝜑 φ | 𝒓 =𝑟 𝒆 𝑟 r=r e r; d 𝒓 =d 𝑟 𝒆 𝑟 +𝑟 d 𝜗 𝒆 𝜗 +𝑟 s i n⁡𝜗 d 𝜑 𝒆 𝜑 d r=d r e r+r d ϑ e ϑ+r sin⁡ϑ d φ e φ | 球坐标 | 𝒆 𝑟(𝜗,𝜑)e r(ϑ,φ)，𝒆 𝜗(𝜗,𝜑)e ϑ(ϑ,φ)，𝒆 𝜑(𝜑)e φ(φ) 组成右手正交系，见 图 3．

如果不使用 右手坐标系，而使用 左手坐标系，则应在之前明确强调，以免符号误用．

图 1 右手笛卡尔坐标系

图 2 右手柱坐标系

图 3 右手球坐标系

图 4 右手坐标系

图 5 左手坐标系

## 标量和向量

本节中，基向量用 𝒆 1 e 1，𝒆 2 e 2，𝒆 3 e 3 表示．本节中的许多概念都可以推广到 𝑛 n 维空间．

标量和向量本身与坐标系的选择无关，而向量的每个标量分量与坐标系的选择有关．

对于基向量 𝒆 1 e 1，𝒆 2 e 2，𝒆 3 e 3, 每个向量 𝒂 a 都可以表示为 𝒂 =𝑎 1 𝒆 1 +𝑎 2 𝒆 2 +𝑎 3 𝒆 3 a=a 1 e 1+a 2 e 2+a 3 e 3, 其中 𝑎 1 a 1，𝑎 2 a 2 和 𝑎 3 a 3 是唯一确定的标量值，将其称为向量相对于该组基向量的 "坐标"，𝑎 1 𝒆 1 a 1 e 1，𝑎 2 𝒆 2 a 2 e 2 和 𝑎 3 𝒆 3 a 3 e 3 称为向量相对于该组基向量的分向量．

在本节中，只考虑普通空间的笛卡尔（正交）坐标．笛卡尔坐标用 𝑥 x，𝑦 y，𝑧 z 或 𝑎 1 a 1，𝑎 2 a 2，𝑎 3 a 3 或 𝑥 1 x 1，𝑥 2 x 2，𝑥 3 x 3 表示．

本节所有下标 𝑖 i，𝑗 j，𝑘 k 的范围均为 1 1 到 3 3.

编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例
--- | --- | --- | ---
n14.1 | 𝒂 a; ⃗𝑎 a→ | 向量 𝒂 a |
n14.2 | 𝒂 +𝒃 a+b | 向量 𝒂 a 和 𝒃 b 的和 | (𝒂 +𝒃)𝑖 =𝑎 𝑖 +𝑏 𝑖(a+b)i=a i+b i.
n14.3 | 𝑥 𝒂 x a | 标量 𝑥 x 与向量 𝒂 a 的乘积 | (𝑥 𝒂)𝑖 =𝑥 𝑎 𝑖(x a)i=x a i.
n14.4 | |𝒂||a| | 向量 𝒂 a 的大小，向量 𝒂 a 的范数 | |𝒂| =√𝑎 2 𝑥+𝑎 2 𝑦+𝑎 2 𝑧|a|=a x 2+a y 2+a z 2; 也可使用 ‖𝑎‖‖a‖.
n14.5 | 𝟎 0; ⃗0 0→ | 零向量 | 零向量的大小为 0 0.
n14.6 | 𝒆 𝒂 e a | 𝒂 a 方向的单位向量 | 𝒆 𝒂 =𝒂/|𝒂| (𝒂 ≠𝟎)e a=a/|a|(a≠0).
n14.7 | 𝒆 𝑥 e x，𝒆 𝑦 e y，𝒆 𝑧 e z; 𝒆 1 e 1，𝒆 2 e 2，𝒆 3 e 3 | 笛卡尔坐标轴方向的单位向量 | 也可使用 𝒊 i，𝒋 j，𝒌 k.
n14.8 | 𝑎 𝑥 a x，𝑎 𝑦 a y，𝑎 𝑧 a z; 𝑎 𝑖 a i | 向量 𝒂 a 的笛卡尔分量 | 𝒂 =𝑎 𝑥 𝒆 𝑥 +𝑎 𝑦 𝒆 𝑦 +𝑎 𝑧 𝒆 𝑧 a=a x e x+a y e y+a z e z; 如果上下文确定了基向量，则向量可以写为 𝒂 =(𝑎 𝑥,𝑎 𝑦,𝑎 𝑧)a=(a x,a y,a z). 𝑎 𝑥 =𝒂 ⋅𝒆 𝑥 a x=a⋅e x，𝑎 𝑦 =𝒂 ⋅𝒆 𝑦 a y=a⋅e y，𝑎 𝑧 =𝒂 ⋅𝒆 𝑧 a z=a⋅e z; 𝒓 =𝑥 𝒆 𝑥 +𝑦 𝒆 𝑦 +𝑧 𝒆 𝑧 r=x e x+y e y+z e z 是坐标为 𝑥 x，𝑦 y，𝑧 z 的位置向量．
n14.9 | 𝛿 𝑖 𝑘 δ i k | Kronecker delta 符号 | 𝛿 𝑖 𝑘 =[𝑖 =𝑘]δ i k=[i=k]，其中 [ ⋅][⋅] 的定义参见 n6.24，即： 𝛿 𝑖 𝑘 =1 (𝑖 =𝑘)δ i k=1(i=k); 𝛿 𝑖 𝑘 =0 (𝑖 ≠𝑘)δ i k=0(i≠k).
n14.10 | 𝜀 𝑖 𝑗 𝑘 ε i j k | Levi-Civita 符号 | 𝜀 1 2 3 =𝜀 2 3 1 =𝜀 3 1 2 =1 ε 123=ε 231=ε 312=1; 𝜀 1 3 2 =𝜀 3 2 1 =𝜀 2 1 3 = −1 ε 132=ε 321=ε 213=−1; 其余的 𝜀 𝑖 𝑗 𝑘 ε i j k 均为 0 0.
n14.11 | 𝒂 ⋅𝒃 a⋅b | 向量 𝒂 a 和 𝒃 b 的标量积/内积 | 𝒂 ⋅𝒃 =∑𝑖 𝑎 𝑖 𝑏 𝑖 a⋅b=∑i a i b i.
n14.12 | 𝒂 ×𝒃 a×b | 向量 𝒂 a 和 𝒃 b 的向量积/外积 | 右手笛卡尔坐标系中，(𝒂 ×𝒃)𝑖 =∑𝑗∑𝑘 𝜀 𝑖 𝑗 𝑘 𝑎 𝑗 𝑏 𝑘(a×b)i=∑j∑k ε i j k a j b k; 𝜀 𝑖 𝑗 𝑘 ε i j k 的定义参见 n14.10.
n14.13 | ∇∇ | nabla 算子 | ∇ =𝒆 𝑥𝜕𝜕𝑥 +𝒆 𝑦𝜕𝜕𝑦 +𝒆 𝑧𝜕𝜕𝑧 =∑𝑖 𝒆 𝑖𝜕𝜕𝑥 𝑖∇=e x∂∂x+e y∂∂y+e z∂∂z=∑i e i∂∂x i.
n14.14 | ∇𝜑∇φ; 𝐠 𝐫 𝐚 𝐝⁡𝜑 grad⁡φ | 𝜑 φ 的梯度 | ∇𝜑 =∑𝑖 𝒆 𝑖𝜕𝜑𝜕𝑥 𝑖∇φ=∑i e i∂φ∂x i; 𝐠 𝐫 𝐚 𝐝 grad 应使用 `\operatorname{\mathbf{grad}}`.
n14.15 | ∇ ⋅𝒂∇⋅a; 𝐝 𝐢 𝐯⁡𝒂 div⁡a | 𝒂 a 的散度 | ∇ ⋅𝒂 =∑𝑖𝜕𝑎 𝑖𝜕𝑥 𝑖∇⋅a=∑i∂a i∂x i; 𝐝 𝐢 𝐯 div 应使用 `\operatorname{\mathbf{div}}`.
n14.16 | ∇ ×𝒂∇×a; 𝐫 𝐨 𝐭⁡𝒂 rot⁡a | 𝒂 a 的旋度 | (∇ ×𝒂)𝑖 =∑𝑗∑𝑘 𝜀 𝑖 𝑗 𝑘𝜕𝑎 𝑘𝜕𝑥 𝑗(∇×a)i=∑j∑k ε i j k∂a k∂x j; 𝐫 𝐨 𝐭 rot 应使用 `\operatorname{\mathbf{rot}}`. 不应使用 𝐜 𝐮 𝐫 𝐥 curl. 𝜀 𝑖 𝑗 𝑘 ε i j k 的定义参见 n14.10.
n14.17 | ∇2∇2; Δ Δ | Laplace 算子 | ∇2 =𝜕2𝜕𝑥 2 +𝜕2𝜕𝑦 2 +𝜕2𝜕𝑧 2∇2=∂2∂x 2+∂2∂y 2+∂2∂z 2.

## 特殊函数

本节中的 𝑧 z，𝑤 w 是复数，𝑘 k，𝑛 n 是自然数，且 𝑘 ≤𝑛 k≤n．

编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例
--- | --- | --- | ---
n15.1 | 𝛾 γ | Euler–Mascheroni 常数 | 𝛾 =l i m 𝑛→∞(𝑛∑𝑘=1 1 𝑘−l n⁡𝑛) =0.5 7 7 2 1 5 6…γ=lim n→∞(∑k=1 n 1 k−ln⁡n)=0.577 215 6….
n15.2 | Γ(𝑧)Γ(z) | gamma 函数 | Γ(𝑧) =∞∫0 𝑡 𝑧−1 e−𝑡 d 𝑡 (R e⁡𝑧 >0)Γ(z)=∫0∞t z−1 e−t d t(Re⁡z>0); Γ(𝑛 +1) =𝑛!Γ(n+1)=n!.
n15.3 | 𝜁(𝑧)ζ(z) | Riemann zeta 函数 | 𝜁(𝑧) =∞∑𝑛=1 1 𝑛 𝑧 (R e⁡𝑧 >1)ζ(z)=∑n=1∞1 n z(Re⁡z>1).
n15.4 | B⁡(𝑧,𝑤)B⁡(z,w) | beta 函数 | B⁡(𝑧,𝑤) =1∫0 𝑡 𝑧−1(1 −𝑡)𝑤−1 d 𝑡 (R e⁡𝑧 >0 B⁡(z,w)=∫0 1 t z−1(1−t)w−1 d t(Re⁡z>0，R e⁡𝑤 >0)Re⁡w>0); B⁡(𝑧,𝑤) =Γ(𝑧)Γ(𝑤)Γ(𝑧+𝑤)B⁡(z,w)=Γ(z)Γ(w)Γ(z+w); 1(𝑛+1)B⁡(𝑘+1,𝑛−𝑘+1) =(𝑛 𝑘)1(n+1)B⁡(k+1,n−k+1)=(n k).

1. 𝜕(𝑓 1,…,𝑓 𝑚)𝜕(𝑥 1,…,𝑥 𝑛) =⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝜕𝑓 1𝜕𝑥 1⋯𝜕𝑓 1𝜕𝑥 𝑛⋮⋱⋮𝜕𝑓 𝑚𝜕𝑥 1⋯𝜕𝑓 𝑚𝜕𝑥 𝑛⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠∂(f 1,…,f m)∂(x 1,…,x n)=(∂f 1∂x 1⋯∂f 1∂x n⋮⋱⋮∂f m∂x 1⋯∂f m∂x n); 矩阵的定义参见 n12.1 ↩

2. ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎 1 1⋯𝑎 1 𝑛⋮⋱⋮𝑎 𝑚 1⋯𝑎 𝑚 𝑛⎞⎟ ⎟ ⎟⎠(a 11⋯a 1 n⋮⋱⋮a m 1⋯a m n) ↩

3. ∣𝑎 1 1⋯𝑎 1 𝑛⋮⋮𝑎 𝑛 1⋯𝑎 𝑛 𝑛∣|a 11⋯a 1 n⋮⋮a n 1⋯a n n| ↩

> 本页面最近更新：2026/1/7 08:56:54，更新历史
> 发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！
> 本页面贡献者：Tiphereth-A, untitledunrevised, c-forrest, Great-designer
> 本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用