跳转至

# 斯特林数

## 第二类斯特林数（Stirling Number）

为什么先介绍第二类斯特林数

虽然被称作「第二类」，第二类斯特林数却在斯特林的相关著作和具体数学中被首先描述，同时也比第一类斯特林数常用得多．

第二类斯特林数（斯特林子集数）{𝑛 𝑘}{n k}，也可记做 𝑆(𝑛,𝑘)S(n,k)，表示将 𝑛 n 个两两不同的元素，划分为 𝑘 k 个互不区分的非空子集的方案数．

### 递推式

{𝑛 𝑘}={𝑛−1 𝑘−1}+𝑘{𝑛−1 𝑘}{n k}={n−1 k−1}+k{n−1 k}

边界是 {𝑛 0} =[𝑛 =0]{n 0}=[n=0]．

考虑用组合意义来证明．

我们插入一个新元素时，有两种方案：

- 将新元素单独放入一个子集，有 {𝑛−1 𝑘−1}{n−1 k−1} 种方案；
- 将新元素放入一个现有的非空子集，有 𝑘{𝑛−1 𝑘}k{n−1 k} 种方案．

根据加法原理，将两式相加即可得到递推式．

### 通项公式

{𝑛 𝑚}=𝑚∑𝑖=0(−1)𝑚−𝑖 𝑖 𝑛 𝑖!(𝑚−𝑖)!{n m}=∑i=0 m(−1)m−i i n i!(m−i)!

使用容斥原理证明该公式．设将 𝑛 n 个两两不同的元素，划分到 𝑖 i 个两两不同的集合（允许空集）的方案数为 𝐺 𝑖 G i，将 𝑛 n 个两两不同的元素，划分到 𝑖 i 个两两不同的非空集合（不允许空集）的方案数为 𝐹 𝑖 F i．

显然

𝐺 𝑖=𝑖 𝑛 𝐺 𝑖=𝑖∑𝑗=0(𝑖 𝑗)𝐹 𝑗 G i=i n G i=∑j=0 i(i j)F j

根据二项式反演

𝐹 𝑖=𝑖∑𝑗=0(−1)𝑖−𝑗(𝑖 𝑗)𝐺 𝑗=𝑖∑𝑗=0(−1)𝑖−𝑗(𝑖 𝑗)𝑗 𝑛=𝑖∑𝑗=0 𝑖!(−1)𝑖−𝑗 𝑗 𝑛 𝑗!(𝑖−𝑗)!F i=∑j=0 i(−1)i−j(i j)G j=∑j=0 i(−1)i−j(i j)j n=∑j=0 i i!(−1)i−j j n j!(i−j)!

考虑 𝐹 𝑖 F i 与 {𝑛 𝑖}{n i} 的关系．第二类斯特林数要求集合之间互不区分，因此 𝐹 𝑖 F i 正好就是 {𝑛 𝑖}{n i} 的 𝑖!i! 倍．于是

{𝑛 𝑚}=𝐹 𝑚 𝑚!=𝑚∑𝑖=0(−1)𝑚−𝑖 𝑖 𝑛 𝑖!(𝑚−𝑖)!{n m}=F m m!=∑i=0 m(−1)m−i i n i!(m−i)!

### 同一行第二类斯特林数的计算

「同一行」的第二类斯特林数指的是，有着不同的 𝑖 i，相同的 𝑛 n 的一系列 {𝑛 𝑖}{n i}．求出同一行的所有第二类斯特林数，就是对 𝑖 =0..𝑛 i=0..n 求出了将 𝑛 n 个不同元素划分为 𝑖 i 个非空集的方案数．

根据上面给出的通项公式，卷积计算即可．该做法的时间复杂度为 𝑂(𝑛 l o g⁡𝑛)O(n log⁡n)．

下面的代码使用了名为 `poly` 的多项式类，仅供参考．

实现

      1
      2
      3
      4
      5
      6
      7
      8
      9
     10
     11
     12
     13
     14
     15
     16
     17
     18
     19
     20
     21
     22
     23
     24
     25
     26
     27
     28
     29
     30
     31
     32
     33
     34
     35
     36
     37
     38
     39
     40
     41
     42
     43
     44
     45
     46
     47
     48
     49
     50
     51
     52
     53
     54
     55
     56
     57
     58
     59
     60
     61
     62
     63
     64
     65
     66
     67
     68
     69
     70
     71
     72
     73
     74
     75
     76
     77
     78
     79
     80
     81
     82
     83
     84
     85
     86
     87
     88
     89
     90
     91
     92
     93
     94
     95
     96
     97
     98
     99
    100
    101
    102
    103
    104
    105
    106
    107
    108
    109
    110
    111
    112
    113
    114
    115
    116
    117
    118
    119
    120
    121
    122
    123
    124
    125
    126
    127
    128
    129
    130
    131
    132
    133
    134
    135
    136
    137
    138
    139
    140
    141
    142
    143
    144
    145
    146
    147
    148
    149
    150
    151
    152
    153
    154
    155
    156
    157
    158
    159
    160
    161
    162
    163
    164
    165
    166
    167
    168
    169
    170
    171
    172
    173
    174
    175
    176
    177
    178
    179
    180
    181
    182
    183
    184
    185
    186
    187
    188
    189
    190
    191
    192
    193
    194
    195
    196
    197
    198
    199
    200
    201
    202
    203
    204
    205
    206
    207
    208
    209
    210
    211
    212
    213
    214
    215
    216
    217
    218
    219
    220
    221
    222
    223
    224
    225
    226
    227
    228
    229
    230
    231
    232
    233
    234
    235
    236
    237
    238
    239
    240
    241
    242
    243
    244
    245
    246
    247
    248
    249
    250
    251
    252
    253
    254
    255
    256
    257
    258
    259
    260
    261
    262
    263
    264
    265
    266
    267
    268
    269
    270
    271
    272
    273
    274
    275
    276
    277
    278
    279
    280
    281
    282
    283
    284
    285
    286
    287
    288
    289
    290
    291
    292
    293
    294
    295
    296
    297
    298
    299
    300
    301
    302
    303
    304
    305
    306
    307
    308
    309
    310
    311
    312
    313
    314
    315
    316
    317
    318
    319
    320
    321
    322
    323
    324
    325
    326
    327
    328
    329
    330
    331
    332
    333
    334
    335
    336
    337
    338
    339
    340
    341
    342
    343
    344
    345
    346
    347
    348
    349
    350
    351
    352
    353
    354
    355
    356
    357
    358
    359
    360
    361
    362
    363
    364
    365
    366
    367
    368
    369
    370
    371
    372
    373
    374
    375
    376
    377
    378
    379
    380
    381
    382
    383
    384
    385
    386
    387
    388
    389
    390
    391
    392
    393
    394
    395
    396
    397
    398
    399
    400
    401
    402
    403
    404
    405
    406
    407
    408
    409
    410
    411
    412
    413
    414
    415
    416
    417
    418
    419
    420
    421
    422
    423
    424
    425
    426
    427
    428
    429
    430
    431
    432
    433
    434
    435
    436
    437
    438
    439
    440
    441
    442
    443
    444
    445
    446
    447
    448
    449
    450
    451
    452
    453
    454
    455
    456
    457
    458
    459
    460
    461
    462
    463
    464
    465
    466
    467
    468
    469
    470
    471
    472
    473
    474
    475
    476
    477
    478
    479
    480
    481
    482
    483
    484
    485
    486
    487
    488
    489
    490
    491
    492
    493
    494
    495
    496
    497
    498
    499
    500
    501
    502
    503
    504
    505
    506
    507
    508
    509
    510
    511
    512
    513
    514
    515
    516
    517
    518
    519
    520
    521
    522
    523
    524
    525
    526
    527
    528
    529
    530
    531
    532
    533
    534
    535
    536
    537
    538
    539
    540
    541
    542
    543
    544
    545
    546
    547
    548
    549
    550
    551
    552
    553
    554
    555
    556
    557
    558
    559
    560
    561
    562
    563
    564
    565
    566
    567
    568
    569
    570
    571
    572
    573
    574
    575
    576
    #ifndef _FEISTDLIB_POLY_
    #define _FEISTDLIB_POLY_

    /*
     * This file is part of the fstdlib project.
     * Version: Build v0.0.2
     * You can check for details at https://github.com/FNatsuka/fstdlib
     */

    #include <algorithm>
    #include <cmath>
    #include <cstdio>
    #include <vector>

    namespace fstdlib {

    using ll = long long;
    int mod = 998244353, grt = 3;

    class poly {
     private:
      std::vector<int> data;

      void out(void) {
        for (int i = 0; i < (int)data.size(); ++i) printf("%d ", data[i]);
        puts("");
      }

     public:
      poly(std::size_t len = std::size_t(0)) { data = std::vector<int>(len); }

      poly(const std::vector<int> &b) { data = b; }

      poly(const poly &b) { data = b.data; }

      void resize(std::size_t len, int val = 0) { data.resize(len, val); }

      std::size_t size(void) const { return data.size(); }

      void clear(void) { data.clear(); }
    #if __cplusplus >= 201103L
      void shrink_to_fit(void) { data.shrink_to_fit(); }
    #endif
      int &operator[](std::size_t b) { return data[b]; }

      const int &operator[](std::size_t b) const { return data[b]; }

      poly operator*(const poly &h) const;
      poly operator*=(const poly &h);
      poly operator*(const int &h) const;
      poly operator*=(const int &h);
      poly operator+(const poly &h) const;
      poly operator+=(const poly &h);
      poly operator-(const poly &h) const;
      poly operator-=(const poly &h);
      poly operator<<(const std::size_t &b) const;
      poly operator<<=(const std::size_t &b);
      poly operator>>(const std::size_t &b) const;
      poly operator>>=(const std::size_t &b);
      poly operator/(const int &h) const;
      poly operator/=(const int &h);
      poly operator==(const poly &h) const;
      poly operator!=(const poly &h) const;
      poly operator+(const int &h) const;
      poly operator+=(const int &h);
      poly inv(void) const;
      poly inv(const int &h) const;
      friend poly sqrt(const poly &h);
      friend poly log(const poly &h);
      friend poly exp(const poly &h);
    };

    int qpow(int a, int b, int p = mod) {
      int res = 1;
      while (b) {
        if (b & 1) res = (ll)res * a % p;
        a = (ll)a * a % p, b >>= 1;
      }
      return res;
    }

    std::vector<int> rev;

    void dft_for_module(std::vector<int> &f, int n, int b) {
      static std::vector<int> w;
      w.resize(n);
      for (int i = 0; i < n; ++i)
        if (i < rev[i]) std::swap(f[i], f[rev[i]]);
      for (int i = 2; i <= n; i <<= 1) {
        w[0] = 1, w[1] = qpow(grt, (mod - 1) / i);
        if (b == -1) w[1] = qpow(w[1], mod - 2);
        for (int j = 2; j < i / 2; ++j) w[j] = (ll)w[j - 1] * w[1] % mod;
        for (int j = 0; j < n; j += i)
          for (int k = 0; k < i / 2; ++k) {
            int p = f[j + k], q = (ll)f[j + k + i / 2] * w[k] % mod;
            f[j + k] = (p + q) % mod, f[j + k + i / 2] = (p - q + mod) % mod;
          }
      }
    }

    poly poly::operator*(const poly &h) const {
      int N = 1;
      while (N < (int)(size() + h.size() - 1)) N <<= 1;
      std::vector<int> f(this->data), g(h.data);
      f.resize(N), g.resize(N);
      rev.resize(N);
      for (int i = 0; i < N; ++i)
        rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | (i & 1 ? N >> 1 : 0);
      dft_for_module(f, N, 1), dft_for_module(g, N, 1);
      for (int i = 0; i < N; ++i) f[i] = (ll)f[i] * g[i] % mod;
      dft_for_module(f, N, -1), f.resize(size() + h.size() - 1);
      for (int i = 0, inv = qpow(N, mod - 2); i < (int)f.size(); ++i)
        f[i] = (ll)f[i] * inv % mod;
      return f;
    }

    poly poly::operator*=(const poly &h) { return *this = *this * h; }

    poly poly::operator*(const int &h) const {
      std::vector<int> f(this->data);
      for (int i = 0; i < (int)f.size(); ++i) f[i] = (ll)f[i] * h % mod;
      return f;
    }

    poly poly::operator*=(const int &h) {
      for (int i = 0; i < (int)size(); ++i) data[i] = (ll)data[i] * h % mod;
      return *this;
    }

    poly poly::operator+(const poly &h) const {
      std::vector<int> f(this->data);
      if (f.size() < h.size()) f.resize(h.size());
      for (int i = 0; i < (int)h.size(); ++i) f[i] = (f[i] + h[i]) % mod;
      return f;
    }

    poly poly::operator+=(const poly &h) {
      std::vector<int> &f = this->data;
      if (f.size() < h.size()) f.resize(h.size());
      for (int i = 0; i < (int)h.size(); ++i) f[i] = (f[i] + h[i]) % mod;
      return f;
    }

    poly poly::operator-(const poly &h) const {
      std::vector<int> f(this->data);
      if (f.size() < h.size()) f.resize(h.size());
      for (int i = 0; i < (int)h.size(); ++i) f[i] = (f[i] - h[i] + mod) % mod;
      return f;
    }

    poly poly::operator-=(const poly &h) {
      std::vector<int> &f = this->data;
      if (f.size() < h.size()) f.resize(h.size());
      for (int i = 0; i < (int)h.size(); ++i) f[i] = (f[i] - h[i] + mod) % mod;
      return f;
    }

    poly poly::operator<<(const std::size_t &b) const {
      std::vector<int> f(size() + b);
      for (int i = 0; i < (int)size(); ++i) f[i + b] = data[i];
      return f;
    }

    poly poly::operator<<=(const std::size_t &b) { return *this = (*this) << b; }

    poly poly::operator>>(const std::size_t &b) const {
      std::vector<int> f(size() - b);
      for (int i = 0; i < (int)f.size(); ++i) f[i] = data[i + b];
      return f;
    }

    poly poly::operator>>=(const std::size_t &b) { return *this = (*this) >> b; }

    poly poly::operator/(const int &h) const {
      std::vector<int> f(this->data);
      int inv = qpow(h, mod - 2);
      for (int i = 0; i < (int)f.size(); ++i) f[i] = (ll)f[i] * inv % mod;
      return f;
    }

    poly poly::operator/=(const int &h) {
      int inv = qpow(h, mod - 2);
      for (int i = 0; i < (int)data.size(); ++i) data[i] = (ll)data[i] * inv % mod;
      return *this;
    }

    poly poly::inv(void) const {
      int N = 1;
      while (N < (int)(size() + size() - 1)) N <<= 1;
      std::vector<int> f(N), g(N), d(this->data);
      d.resize(N), f[0] = qpow(d[0], mod - 2);
      for (int w = 2; w < N; w <<= 1) {
        for (int i = 0; i < w; ++i) g[i] = d[i];
        rev.resize(w << 1);
        for (int i = 0; i < w * 2; ++i)
          rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | (i & 1 ? w : 0);
        dft_for_module(f, w << 1, 1), dft_for_module(g, w << 1, 1);
        for (int i = 0; i < w * 2; ++i)
          f[i] = (ll)f[i] * (2 + mod - (ll)f[i] * g[i] % mod) % mod;
        dft_for_module(f, w << 1, -1);
        for (int i = 0, inv = qpow(w << 1, mod - 2); i < w; ++i)
          f[i] = (ll)f[i] * inv % mod;
        for (int i = w; i < w * 2; ++i) f[i] = 0;
      }
      f.resize(size());
      return f;
    }

    poly poly::operator==(const poly &h) const {
      if (size() != h.size()) return 0;
      for (int i = 0; i < (int)size(); ++i)
        if (data[i] != h[i]) return 0;
      return 1;
    }

    poly poly::operator!=(const poly &h) const {
      if (size() != h.size()) return 1;
      for (int i = 0; i < (int)size(); ++i)
        if (data[i] != h[i]) return 1;
      return 0;
    }

    poly poly::operator+(const int &h) const {
      poly f(this->data);
      f[0] = (f[0] + h) % mod;
      return f;
    }

    poly poly::operator+=(const int &h) { return *this = (*this) + h; }

    poly poly::inv(const int &h) const {
      poly f(*this);
      f.resize(h);
      return f.inv();
    }

    int modsqrt(int h, int p = mod) { return 1; }

    poly sqrt(const poly &h) {
      int N = 1;
      while (N < (int)(h.size() + h.size() - 1)) N <<= 1;
      poly f(N), g(N), d(h);
      d.resize(N), f[0] = modsqrt(d[0]);
      for (int w = 2; w < N; w <<= 1) {
        g.resize(w);
        for (int i = 0; i < w; ++i) g[i] = d[i];
        f = (f + f.inv(w) * g) / 2;
        f.resize(w);
      }
      f.resize(h.size());
      return f;
    }

    poly log(const poly &h) {
      poly f(h);
      for (int i = 1; i < (int)f.size(); ++i) f[i - 1] = (ll)f[i] * i % mod;
      f[f.size() - 1] = 0, f = f * h.inv(), f.resize(h.size());
      for (int i = (int)f.size() - 1; i > 0; --i)
        f[i] = (ll)f[i - 1] * qpow(i, mod - 2) % mod;
      f[0] = 0;
      return f;
    }

    poly exp(const poly &h) {
      int N = 1;
      while (N < (int)(h.size() + h.size() - 1)) N <<= 1;
      poly f(N), g(N), d(h);
      f[0] = 1, d.resize(N);
      for (int w = 2; w < N; w <<= 1) {
        f.resize(w), g.resize(w);
        for (int i = 0; i < w; ++i) g[i] = d[i];
        f = f * (g + 1 - log(f));
        f.resize(w);
      }
      f.resize(h.size());
      return f;
    }

    struct comp {
      long double x, y;

      comp(long double _x = 0, long double _y = 0) : x(_x), y(_y) {}

      comp operator*(const comp &b) const {
        return comp(x * b.x - y * b.y, x * b.y + y * b.x);
      }

      comp operator+(const comp &b) const { return comp(x + b.x, y + b.y); }

      comp operator-(const comp &b) const { return comp(x - b.x, y - b.y); }

      comp conj(void) { return comp(x, -y); }
    };

    const int EPS = 1e-9;

    template <typename FLOAT_T>
    FLOAT_T fabs(const FLOAT_T &x) {
      return x > 0 ? x : -x;
    }

    template <typename FLOAT_T>
    FLOAT_T sin(const FLOAT_T &x, const long double &EPS = fstdlib::EPS) {
      FLOAT_T res = 0, delt = x;
      int d = 0;
      while (fabs(delt) > EPS) {
        res += delt, ++d;
        delt *= -x * x / ((2 * d) * (2 * d + 1));
      }
      return res;
    }

    template <typename FLOAT_T>
    FLOAT_T cos(const FLOAT_T &x, const long double &EPS = fstdlib::EPS) {
      FLOAT_T res = 0, delt = 1;
      int d = 0;
      while (fabs(delt) > EPS) {
        res += delt, ++d;
        delt *= -x * x / ((2 * d) * (2 * d - 1));
      }
      return res;
    }

    const long double PI = std::acos((long double)(-1));

    void dft_for_complex(std::vector<comp> &f, int n, int b) {
      static std::vector<comp> w;
      w.resize(n);
      for (int i = 0; i < n; ++i)
        if (i < rev[i]) std::swap(f[i], f[rev[i]]);
      for (int i = 2; i <= n; i <<= 1) {
        w[0] = comp(1, 0), w[1] = comp(cos(2 * PI / i), b * sin(2 * PI / i));
        for (int j = 2; j < i / 2; ++j) w[j] = w[j - 1] * w[1];
        for (int j = 0; j < n; j += i)
          for (int k = 0; k < i / 2; ++k) {
            comp p = f[j + k], q = f[j + k + i / 2] * w[k];
            f[j + k] = p + q, f[j + k + i / 2] = p - q;
          }
      }
    }

    class arbitrary_module_poly {
     private:
      std::vector<int> data;

      int construct_element(int D, ll x, ll y, ll z) const {
        x %= mod, y %= mod, z %= mod;
        return ((ll)D * D * x % mod + (ll)D * y % mod + z) % mod;
      }

     public:
      int mod;

      arbitrary_module_poly(std::size_t len = std::size_t(0),
                            int module_value = 1e9 + 7) {
        mod = module_value;
        data = std::vector<int>(len);
      }

      arbitrary_module_poly(const std::vector<int> &b, int module_value = 1e9 + 7) {
        mod = module_value;
        data = b;
      }

      arbitrary_module_poly(const arbitrary_module_poly &b) {
        mod = b.mod;
        data = b.data;
      }

      void resize(std::size_t len, const int &val = 0) { data.resize(len, val); }

      std::size_t size(void) const { return data.size(); }

      void clear(void) { data.clear(); }
    #if __cplusplus >= 201103L
      void shrink_to_fit(void) { data.shrink_to_fit(); }
    #endif
      int &operator[](std::size_t b) { return data[b]; }

      const int &operator[](std::size_t b) const { return data[b]; }

      arbitrary_module_poly operator*(const arbitrary_module_poly &h) const;
      arbitrary_module_poly operator*=(const arbitrary_module_poly &h);
      arbitrary_module_poly operator*(const int &h) const;
      arbitrary_module_poly operator*=(const int &h);
      arbitrary_module_poly operator+(const arbitrary_module_poly &h) const;
      arbitrary_module_poly operator+=(const arbitrary_module_poly &h);
      arbitrary_module_poly operator-(const arbitrary_module_poly &h) const;
      arbitrary_module_poly operator-=(const arbitrary_module_poly &h);
      arbitrary_module_poly operator<<(const std::size_t &b) const;
      arbitrary_module_poly operator<<=(const std::size_t &b);
      arbitrary_module_poly operator>>(const std::size_t &b) const;
      arbitrary_module_poly operator>>=(const std::size_t &b);
      arbitrary_module_poly operator/(const int &h) const;
      arbitrary_module_poly operator/=(const int &h);
      arbitrary_module_poly operator==(const arbitrary_module_poly &h) const;
      arbitrary_module_poly operator!=(const arbitrary_module_poly &h) const;
      arbitrary_module_poly inv(void) const;
      arbitrary_module_poly inv(const int &h) const;
      friend arbitrary_module_poly sqrt(const arbitrary_module_poly &h);
      friend arbitrary_module_poly log(const arbitrary_module_poly &h);
    };

    arbitrary_module_poly arbitrary_module_poly::operator*(
        const arbitrary_module_poly &h) const {
      int N = 1;
      while (N < (int)(size() + h.size() - 1)) N <<= 1;
      std::vector<comp> f(N), g(N), p(N), q(N);
      const int D = std::sqrt(mod);
      for (int i = 0; i < (int)size(); ++i)
        f[i].x = data[i] / D, f[i].y = data[i] % D;
      for (int i = 0; i < (int)h.size(); ++i) g[i].x = h[i] / D, g[i].y = h[i] % D;
      rev.resize(N);
      for (int i = 0; i < N; ++i)
        rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | (i & 1 ? N >> 1 : 0);
      dft_for_complex(f, N, 1), dft_for_complex(g, N, 1);
      for (int i = 0; i < N; ++i) {
        p[i] = (f[i] + f[(N - i) % N].conj()) * comp(0.50, 0) * g[i];
        q[i] = (f[i] - f[(N - i) % N].conj()) * comp(0, -0.5) * g[i];
      }
      dft_for_complex(p, N, -1), dft_for_complex(q, N, -1);
      std::vector<int> r(size() + h.size() - 1);
      for (int i = 0; i < (int)r.size(); ++i)
        r[i] = construct_element(D, p[i].x / N + 0.5, (p[i].y + q[i].x) / N + 0.5,
                                 q[i].y / N + 0.5);
      return arbitrary_module_poly(r, mod);
    }

    arbitrary_module_poly arbitrary_module_poly::operator*=(
        const arbitrary_module_poly &h) {
      return *this = *this * h;
    }

    arbitrary_module_poly arbitrary_module_poly::operator*(const int &h) const {
      std::vector<int> f(this->data);
      for (int i = 0; i < (int)f.size(); ++i) f[i] = (ll)f[i] * h % mod;
      return arbitrary_module_poly(f, mod);
    }

    arbitrary_module_poly arbitrary_module_poly::operator*=(const int &h) {
      for (int i = 0; i < (int)size(); ++i) data[i] = (ll)data[i] * h % mod;
      return *this;
    }

    arbitrary_module_poly arbitrary_module_poly::operator+(
        const arbitrary_module_poly &h) const {
      std::vector<int> f(this->data);
      if (f.size() < h.size()) f.resize(h.size());
      for (int i = 0; i < (int)h.size(); ++i) f[i] = (f[i] + h[i]) % mod;
      return arbitrary_module_poly(f, mod);
    }

    arbitrary_module_poly arbitrary_module_poly::operator+=(
        const arbitrary_module_poly &h) {
      if (size() < h.size()) resize(h.size());
      for (int i = 0; i < (int)h.size(); ++i) data[i] = (data[i] + h[i]) % mod;
      return *this;
    }

    arbitrary_module_poly arbitrary_module_poly::operator-(
        const arbitrary_module_poly &h) const {
      std::vector<int> f(this->data);
      if (f.size() < h.size()) f.resize(h.size());
      for (int i = 0; i < (int)h.size(); ++i) f[i] = (f[i] + mod - h[i]) % mod;
      return arbitrary_module_poly(f, mod);
    }

    arbitrary_module_poly arbitrary_module_poly::operator-=(
        const arbitrary_module_poly &h) {
      if (size() < h.size()) resize(h.size());
      for (int i = 0; i < (int)h.size(); ++i)
        data[i] = (data[i] + mod - h[i]) % mod;
      return *this;
    }

    arbitrary_module_poly arbitrary_module_poly::operator<<(
        const std::size_t &b) const {
      std::vector<int> f(size() + b);
      for (int i = 0; i < (int)size(); ++i) f[i + b] = data[i];
      return arbitrary_module_poly(f, mod);
    }

    arbitrary_module_poly arbitrary_module_poly::operator<<=(const std::size_t &b) {
      return *this = (*this) << b;
    }

    arbitrary_module_poly arbitrary_module_poly::operator>>(
        const std::size_t &b) const {
      std::vector<int> f(size() - b);
      for (int i = 0; i < (int)f.size(); ++i) f[i] = data[i + b];
      return arbitrary_module_poly(f, mod);
    }

    arbitrary_module_poly arbitrary_module_poly::operator>>=(const std::size_t &b) {
      return *this = (*this) >> b;
    }

    arbitrary_module_poly arbitrary_module_poly::inv(void) const {
      int N = 1;
      while (N < (int)(size() + size() - 1)) N <<= 1;
      arbitrary_module_poly f(1, mod), g(N, mod), h(*this), f2(1, mod);
      f[0] = qpow(data[0], mod - 2, mod), h.resize(N), f2[0] = 2;
      for (int w = 2; w < N; w <<= 1) {
        g.resize(w);
        for (int i = 0; i < w; ++i) g[i] = h[i];
        f = f * (f * g - f2) * (mod - 1);
        f.resize(w);
      }
      f.resize(size());
      return f;
    }

    arbitrary_module_poly arbitrary_module_poly::inv(const int &h) const {
      arbitrary_module_poly f(*this);
      f.resize(h);
      return f.inv();
    }

    arbitrary_module_poly arbitrary_module_poly::operator/(const int &h) const {
      int inv = qpow(h, mod - 2, mod);
      std::vector<int> f(this->data);
      for (int i = 0; i < (int)f.size(); ++i) f[i] = (ll)f[i] * inv % mod;
      return arbitrary_module_poly(f, mod);
    }

    arbitrary_module_poly arbitrary_module_poly::operator/=(const int &h) {
      int inv = qpow(h, mod - 2, mod);
      for (int i = 0; i < (int)size(); ++i) data[i] = (ll)data[i] * inv % mod;
      return *this;
    }

    arbitrary_module_poly arbitrary_module_poly::operator==(
        const arbitrary_module_poly &h) const {
      if (size() != h.size() || mod != h.mod) return 0;
      for (int i = 0; i < (int)size(); ++i)
        if (data[i] != h[i]) return 0;
      return 1;
    }

    arbitrary_module_poly arbitrary_module_poly::operator!=(
        const arbitrary_module_poly &h) const {
      if (size() != h.size() || mod != h.mod) return 1;
      for (int i = 0; i < (int)size(); ++i)
        if (data[i] != h[i]) return 1;
      return 0;
    }

    arbitrary_module_poly sqrt(const arbitrary_module_poly &h) {
      int N = 1;
      while (N < (int)(h.size() + h.size() - 1)) N <<= 1;
      arbitrary_module_poly f(1, mod), g(N, mod), d(h);
      f[0] = modsqrt(h[0], mod), d.resize(N);
      for (int w = 2; w < N; w <<= 1) {
        g.resize(w);
        for (int i = 0; i < w; ++i) g[i] = d[i];
        f = (f + f.inv(w) * g) / 2;
        f.resize(w);
      }
      f.resize(h.size());
      return f;
    }

    arbitrary_module_poly log(const arbitrary_module_poly &h) {
      arbitrary_module_poly f(h);
      for (int i = 1; i < (int)f.size(); ++i) f[i - 1] = (ll)f[i] * i % f.mod;
      f[f.size() - 1] = 0, f = f * h.inv(), f.resize(h.size());
      for (int i = (int)f.size() - 1; i > 0; --i)
        f[i] = (ll)f[i - 1] * qpow(i, f.mod - 2, f.mod) % f.mod;
      f[0] = 0;
      return f;
    }

    using m_poly = arbitrary_module_poly;
    }  // namespace fstdlib

    #endif

实现

     1
     2
     3
     4
     5
     6
     7
     8
     9
    10
    11
    12
    13
    14
    15
    int main() {
      scanf("%d", &n);
      fact[0] = 1;
      for (int i = 1; i <= n; ++i) fact[i] = (ll)fact[i - 1] * i % mod;
      exgcd(fact[n], mod, ifact[n], ifact[0]),
          ifact[n] = (ifact[n] % mod + mod) % mod;
      for (int i = n - 1; i >= 0; --i) ifact[i] = (ll)ifact[i + 1] * (i + 1) % mod;
      poly f(n + 1), g(n + 1);
      for (int i = 0; i <= n; ++i)
        g[i] = (i & 1 ? mod - 1ll : 1ll) * ifact[i] % mod,
        f[i] = (ll)qpow(i, n) * ifact[i] % mod;
      f *= g, f.resize(n + 1);
      for (int i = 0; i <= n; ++i) printf("%d ", f[i]);
      return 0;
    }

### 同一列第二类斯特林数的计算

「同一列」的第二类斯特林数指的是，有着不同的 𝑖 i，相同的 𝑘 k 的一系列 {𝑖 𝑘}{i k}．求出同一列的所有第二类斯特林数，就是对 𝑖 =0..𝑛 i=0..n 求出了将 𝑖 i 个不同元素划分为 𝑘 k 个非空集的方案数．

利用指数型生成函数计算．

一个盒子装 𝑖 i 个物品且盒子非空的方案数是 [𝑖 >0][i>0]．我们可以写出它的指数型生成函数为 𝐹(𝑥) =+∞∑𝑖=1 𝑥 𝑖 𝑖! =e 𝑥 −1 F(x)=∑i=1+∞x i i!=e x−1．经过之前的学习，我们明白 𝐹 𝑘(𝑥)F k(x) 就是 𝑖 i 个有标号物品放到 𝑘 k 个有标号盒子里的指数型生成函数，那么除掉 𝑘!k! 就是 𝑖 i 个有标号物品放到 𝑘 k 个无标号盒子里的指数型生成函数．

{𝑖 𝑘} =[𝑥 𝑖 𝑖!]𝐹 𝑘(𝑥)𝑘!{i k}=[x i i!]F k(x)k!，𝑂(𝑛 l o g⁡𝑛)O(n log⁡n) 计算多项式幂即可．

另外，e x p⁡𝐹(𝑥) =+∞∑𝑖=0 𝐹 𝑖(𝑥)𝑖!exp⁡F(x)=∑i=0+∞F i(x)i! 就是 𝑖 i 个有标号物品放到任意多个无标号盒子里的指数型生成函数（EXP 通过每项除以一个 𝑖!i! 去掉了盒子的标号）．这其实就是贝尔数的生成函数．

这里涉及到很多「有标号」「无标号」的内容，注意辨析．

实现

     1
     2
     3
     4
     5
     6
     7
     8
     9
    10
    11
    12
    int main() {
      scanf("%d%d", &n, &k);
      poly f(n + 1);
      fact[0] = 1;
      for (int i = 1; i <= n; ++i) fact[i] = (ll)fact[i - 1] * i % mod;
      for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = qpow(fact[i], mod - 2);
      f = exp(log(f >> 1) * k) << k, f.resize(n + 1);
      int inv = qpow(fact[k], mod - 2);
      for (int i = 0; i <= n; ++i)
        printf("%lld ", (ll)f[i] * fact[i] % mod * inv % mod);
      return 0;
    }

## 第一类斯特林数（Stirling Number）

第一类斯特林数（斯特林轮换数）[𝑛 𝑘][n k]，也可记做 𝑠(𝑛,𝑘)s(n,k)，表示将 𝑛 n 个两两不同的元素，划分为 𝑘 k 个互不区分的非空轮换的方案数．

一个轮换就是一个首尾相接的环形排列．我们可以写出一个轮换 [𝐴,𝐵,𝐶,𝐷][A,B,C,D]，并且我们认为 [𝐴,𝐵,𝐶,𝐷] =[𝐵,𝐶,𝐷,𝐴] =[𝐶,𝐷,𝐴,𝐵] =[𝐷,𝐴,𝐵,𝐶][A,B,C,D]=[B,C,D,A]=[C,D,A,B]=[D,A,B,C]，即，两个可以通过旋转而互相得到的轮换是等价的．注意，我们不认为两个可以通过翻转而相互得到的轮换等价，即 [𝐴,𝐵,𝐶,𝐷] ≠[𝐷,𝐶,𝐵,𝐴][A,B,C,D]≠[D,C,B,A]．

### 递推式

[𝑛 𝑘]=[𝑛−1 𝑘−1]+(𝑛−1)[𝑛−1 𝑘][n k]=[n−1 k−1]+(n−1)[n−1 k]

边界是 [𝑛 0] =[𝑛 =0][n 0]=[n=0]．

该递推式的证明可以考虑其组合意义．

我们插入一个新元素时，有两种方案：

- 将该新元素置于一个单独的轮换中，共有 [𝑛−1 𝑘−1][n−1 k−1] 种方案；
- 将该元素插入到任何一个现有的轮换中，共有 (𝑛 −1)[𝑛−1 𝑘](n−1)[n−1 k] 种方案．

根据加法原理，将两式相加即可得到递推式．

### 通项公式

第一类斯特林数没有实用的通项公式．

### 同一行第一类斯特林数的计算

类似第二类斯特林数，我们构造同行第一类斯特林数的生成函数，即

𝐹 𝑛(𝑥) =𝑛∑𝑖=0[𝑛 𝑖]𝑥 𝑖 F n(x)=∑i=0 n[n i]x i

根据递推公式，不难写出

𝐹 𝑛(𝑥) =(𝑛 −1)𝐹 𝑛−1(𝑥) +𝑥 𝐹 𝑛−1(𝑥)F n(x)=(n−1)F n−1(x)+x F n−1(x)

于是

𝐹 𝑛(𝑥) =𝑛−1∏𝑖=0(𝑥 +𝑖) =(𝑥+𝑛−1)!(𝑥−1)!F n(x)=∏i=0 n−1(x+i)=(x+n−1)!(x−1)!

这其实是 𝑥 x 的 𝑛 n 次上升阶乘幂，记做 𝑥――𝑛 x n―．这个东西自然是可以暴力分治乘 𝑂(𝑛 l o g 2⁡𝑛)O(n log 2⁡n) 求出的，但用上升幂相关做法可以 𝑂(𝑛 l o g⁡𝑛)O(n log⁡n) 求出，详情见 多项式平移 | 连续点值平移．

### 同一列第一类斯特林数的计算

仿照第二类斯特林数的计算，我们可以用指数型生成函数解决该问题．注意，由于递推公式和行有关，我们不能利用递推公式计算同列的第一类斯特林数．

显然，单个轮换的指数型生成函数为

𝐹(𝑥) =𝑛∑𝑖=1(𝑖−1)!𝑥 𝑖 𝑖! =𝑛∑𝑖=1 𝑥 𝑖 𝑖 F(x)=∑i=1 n(i−1)!x i i!=∑i=1 n x i i

它的 𝑘 k 次幂就是 [𝑖 𝑘][i k] 的指数型生成函数，𝑂(𝑛 l o g⁡𝑛)O(n log⁡n) 计算即可．

实现

     1
     2
     3
     4
     5
     6
     7
     8
     9
    10
    11
    12
    13
    int main() {
      scanf("%d%d", &n, &k);
      fact[0] = 1;
      for (int i = 1; i <= n; ++i) fact[i] = (ll)fact[i - 1] * i % mod;
      ifact[n] = qpow(fact[n], mod - 2);
      for (int i = n - 1; i >= 0; --i) ifact[i] = (ll)ifact[i + 1] * (i + 1) % mod;
      poly f(n + 1);
      for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = (ll)fact[i - 1] * ifact[i] % mod;
      f = exp(log(f >> 1) * k) << k, f.resize(n + 1);
      for (int i = 0; i <= n; ++i)
        printf("%lld ", (ll)f[i] * fact[i] % mod * ifact[k] % mod);
      return 0;
    }

## 应用

### 上升幂与普通幂的相互转化

我们记上升阶乘幂 𝑥――𝑛 =∏𝑛−1 𝑘=0(𝑥 +𝑘)x n―=∏k=0 n−1(x+k)．

则可以利用下面的恒等式将上升幂转化为普通幂：

𝑥――𝑛=∑𝑘[𝑛 𝑘]𝑥 𝑘 x n―=∑k[n k]x k

如果将普通幂转化为上升幂，则有下面的恒等式：

𝑥 𝑛=∑𝑘{𝑛 𝑘}(−1)𝑛−𝑘 𝑥――𝑘 x n=∑k{n k}(−1)n−k x k―

### 下降幂与普通幂的相互转化

我们记下降阶乘幂 𝑥 𝑛―― =𝑥!(𝑥−𝑛)! =∏𝑛−1 𝑘=0(𝑥 −𝑘)x n―=x!(x−n)!=∏k=0 n−1(x−k)．

则可以利用下面的恒等式将普通幂转化为下降幂：

𝑥 𝑛=∑𝑘{𝑛 𝑘}𝑥 𝑘――x n=∑k{n k}x k―

如果将下降幂转化为普通幂，则有下面的恒等式：

𝑥 𝑛――=∑𝑘[𝑛 𝑘](−1)𝑛−𝑘 𝑥 𝑘 x n―=∑k[n k](−1)n−k x k

### 多项式下降阶乘幂表示与多项式点值表示的关系

在这里，多项式的下降阶乘幂表示就是用

𝑓(𝑥)=𝑛∑𝑖=0 𝑏 𝑖 𝑥 𝑖――f(x)=∑i=0 n b i x i―

的形式表示一个多项式，而点值表示就是用 𝑛 +1 n+1 个点

(𝑖,𝑎 𝑖),𝑖=0..𝑛(i,a i),i=0..n

来表示一个多项式．

显然，下降阶乘幂 𝑏 b 和点值 𝑎 a 间满足这样的关系：

𝑎 𝑘=𝑛∑𝑖=0 𝑏 𝑖 𝑘 𝑖――a k=∑i=0 n b i k i―

即

𝑎 𝑘=𝑛∑𝑖=0 𝑏 𝑖 𝑘!(𝑘−𝑖)!𝑎 𝑘 𝑘!=𝑘∑𝑖=0 𝑏 𝑖 1(𝑘−𝑖)!a k=∑i=0 n b i k!(k−i)!a k k!=∑i=0 k b i 1(k−i)!

这是一个卷积形式的式子，我们可以在 𝑂(𝑛 l o g⁡𝑛)O(n log⁡n) 的时间复杂度内完成点值和下降阶乘幂的互相转化．

## 习题

- HDU3625 Examining the Rooms
- UOJ540 联合省选 2020 组合数问题
- UOJ269 清华集训 2016 如何优雅地求和

## 参考资料与注释

1. Stirling Number of the First Kind - Wolfram MathWorld
2. Stirling Number of the Second Kind - Wolfram MathWorld

> 本页面最近更新：2026/1/7 08:56:54，更新历史
> 发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！
> 本页面贡献者：Ir1d, Enter-tainer, Fei Natsuka, StudyingFather, Tiphereth-A, Xeonacid, MegaOwIer, sshwy, iamtwz, ksyx, caijianhong, CCXXXI, Great-designer, H-J-Granger, isdanni, Konano, LLLMMKK, Menci, purple-vine, shuzhouliu, YanagiOrigami
> 本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用