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# 三维计算几何基础

三维几何的很多概念与 二维几何 是相通的，我们可以用与解决二维几何问题相同的方法来解决三维几何问题．

## 基本概念

点，向量，直线这些概念和二维几何是相似的，这里不再展开．

### 平面

我们可以用平面上的一点 𝑃 0(𝑥 0,𝑦 0,𝑧 0)P 0(x 0,y 0,z 0) 和该平面的法向量（即垂直于该平面的向量）𝒏 n 来表示一个平面．

因为 𝒏 n 垂直于平面，所以 𝒏 n 垂直于该平面内的所有直线．换句话说，设 𝒏 =(𝐴,𝐵,𝐶)n=(A,B,C)，则该平面上的点 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)P(x,y,z) 都满足 𝒏 ⋅←←←←←→𝑃 𝑃 0 =0 n⋅P P 0→=0．

根据向量点积的定义，上式等价于：

𝐴(𝑥−𝑥 0)+𝐵(𝑦−𝑦 0)+𝐶(𝑧−𝑧 0)=0 A(x−x 0)+B(y−y 0)+C(z−z 0)=0

整理后得到：

𝐴 𝑥+𝐵 𝑦+𝐶 𝑧−(𝐴 𝑥 0+𝐵 𝑦 0+𝐶 𝑧 0)=0 A x+B y+C z−(A x 0+B y 0+C z 0)=0

令 𝐷 = −(𝐴 𝑥 0 +𝐵 𝑦 0 +𝐶 𝑧 0)D=−(A x 0+B y 0+C z 0)，则上式变成 𝐴 𝑥 +𝐵 𝑦 +𝐶 𝑧 +𝐷 =0 A x+B y+C z+D=0．我们称这个式子为平面的 一般式．

## 基本操作

### 直线、平面之间的夹角

运用空间向量的知识，空间中直线、平面之间的夹角可以很快求出．

对于两条异面直线 𝑎 a，𝑏 b，过空间中一点 𝑃 P，作 𝑎′ ∥𝑎 a′∥a，𝑏′ ∥𝑏′b′∥b′，则 𝑎′a′ 与 𝑏′b′ 所成的锐角或直角被称为 𝑎 a 和 𝑏 b 两条 异面直线所成的角．

对于直线 𝑎 a 和平面 𝛼 α，若 𝑎 a 与 𝛼 α 相交于 𝐴 A，过 𝑎 a 上一点 𝑃 P 引平面 𝛼 α 的垂线交 𝛼 α 于 𝑂 O，则 𝑎 a 与 𝑃 𝑂 P O 所成角的余角被称为 直线与平面所成的角．特别地，若 𝑎 ∥𝛼 a∥α 或 𝑎 ⊂𝛼 a⊂α，则它们之间的夹角为 0∘0∘．

对于两个平面 𝛼 α，𝛽 β，它们的夹角被定义为与两条平面的交线 𝑙 l 垂直的两条直线 𝑎,𝑏 a,b（其中 𝑎 ⊂𝛼 a⊂α，𝑏 ⊂𝛽 b⊂β）所成的角．

#### 两直线夹角定义与关系充要条件

- 两直线的方向向量的夹角，叫做两直线的夹角．

有了这个命题，我们就可以得出以下结论：已知两条直线 𝑙 1,𝑙 2 l 1,l 2，它们的方向向量分别是 𝑠 1(𝑚 1,𝑛 1,𝑝 1)s 1(m 1,n 1,p 1)，𝑠 2(𝑚 2,𝑛 2,𝑝 2)s 2(m 2,n 2,p 2)，设 𝜑 φ 为两直线夹角，我们可以得到 c o s⁡𝜑 =|𝑚 1 𝑚 2+𝑛 1 𝑛 2+𝑝 1 𝑝 2|√𝑚 2 1+𝑛 2 1+𝑝 2 1√𝑚 2 2+𝑛 2 2+𝑝 2 2 cos⁡φ=|m 1 m 2+n 1 n 2+p 1 p 2|m 1 2+n 1 2+p 1 2 m 2 2+n 2 2+p 2 2.

- 𝑙 1 ⟂𝑙 2 ⟺ 𝑚 1 𝑚 2 +𝑛 1 𝑛 2 +𝑝 1 𝑝 2 =0 l 1⟂l 2⟺m 1 m 2+n 1 n 2+p 1 p 2=0

- 𝑙 1 ∥𝑙 2 ⟺ 𝑚 1 𝑚 2 =𝑛 1 𝑛 2 =𝑝 1 𝑝 2 l 1∥l 2⟺m 1 m 2=n 1 n 2=p 1 p 2.

### 三维向量与平面的夹角

当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 𝜑 φ（𝜑 ∈[0,𝜋 2]φ∈[0,π 2]）称为直线与平面的夹角．

设直线向量 𝑠(𝑚,𝑛,𝑝)s(m,n,p)，平面法线向量 𝑓(𝑎,𝑏,𝑐)f(a,b,c)，那么以下命题成立：

- 角度的正弦值：s i n⁡𝜑 =|𝑎 𝑚+𝑏 𝑛+𝑐 𝑝|√𝑎 2+𝑏 2+𝑐 2√𝑚 2+𝑛 2+𝑝 2 sin⁡φ=|a m+b n+c p|a 2+b 2+c 2 m 2+n 2+p 2

- 直线与平面平行 ⟺ 𝑎 𝑚 +𝑏 𝑛 +𝑐 𝑝 =0⟺a m+b n+c p=0

- 直线与平面垂直 ⟺ 𝑎 𝑚 =𝑏 𝑛 =𝑐 𝑝⟺a m=b n=c p

### 点到平面的距离

### 直线与平面的交点

直接联立直线方程和平面方程即可．

## 立体几何定理

### 三正弦定理

设二面角 𝑀－𝐴 𝐵－𝑁 M－A B－N 的度数为 𝛼 α，在平面 𝑀 M 上有一条射线 𝐴 𝐶 A C，它和棱 𝐴 𝐵 A B 所成角为 𝛽 β，和平面 𝑁 N 所成的角为 𝛾 γ，则 s i n⁡𝛾 =s i n⁡𝛼 ⋅s i n⁡𝛽 sin⁡γ=sin⁡α⋅sin⁡β．

### 三余弦定理

设 𝑂 O 为平面上一点，过平面外一点 𝐵 B 的直线 𝐵 𝑂 B O 在面上的射影为 𝐴 𝑂 A O，𝑂 𝐶 O C 为面上的一条直线，那么 ∠𝐶 𝑂 𝐵，∠𝐴 𝑂 𝐶，∠𝐴 𝑂 𝐵∠C O B，∠A O C，∠A O B 三角的余弦关系为：c o s⁡∠𝐵 𝑂 𝐶 =c o s⁡∠𝐴 𝑂 𝐵 ⋅c o s⁡∠𝐴 𝑂 𝐶 cos⁡∠B O C=cos⁡∠A O B⋅cos⁡∠A O C（∠𝐴 𝑂 𝐶∠A O C，∠𝐴 𝑂 𝐵∠A O B 只能是锐角）．

## 参考资料

- 3D 空间基础概念之一：点、向量（矢量）和齐次坐标

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