# 线性代数简介

提示

本篇与「线性代数」分类下的其他篇目关联不大．但笔者认为，讲讲线性代数的本质，追溯概念的根源与联系，让读者对于线性代数有一个初步但是成体系的认识，确实有其必要性．

早在几千年前，就有古人应用线性方程组解决问题，而如今，线性代数仍然应用广泛．

线性代数源于人们的观察．人们发现，很多对象都拥有相似的性质，比如：

- 力可以被分解、合成．

- 对于任意的 𝑘,𝑥 0 k,x 0，𝑘 s i n⁡(𝑥−𝑥 0)k sin⁡(x−x 0) 可以分解成 𝑘 1 s i n⁡𝑥 +𝑘 2 c o s⁡𝑥 k 1 sin⁡x+k 2 cos⁡x．

这些性质与所描述对象的 缩放、分解、叠加 等有关．线性代数把这些性质从具体对象中抽象出来，作为一个独立的学科来研究．在 OI 中，线性代数的知识可以直接用来解决问题，也可以用于优化算法、数据结构等．例如：

- 用树剖维护线性基求链上最大异或和

- 利用矩阵树定理把图的生成树计数问题转化为求矩阵的行列式

- 用矩阵快速幂优化递推

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