跳转至

# 条件概率与独立性

## 概述

当某事件已经发生时，一些随机事件的概率会因为已知信息的增加发生变化．例如在手游抽卡时，我们可能会认为单次抽卡出六星与不出六星是等概率的，但随着我们连抽 5 0 50 发一个六星都没有，再固执地认为「出六星与不出六星等概率」就显得不是那么明智．

总之，研究在某些已知条件下事件发生的概率是必要的．

## 条件概率

### 定义

若已知事件 𝐴 A 发生，在此条件下事件 𝐵 B 发生的概率称为 条件概率，记作 𝑃(𝐵|𝐴)P(B|A)．

在概率空间 (Ω,F,𝑃)(Ω,F,P) 中，若事件 𝐴 ∈F A∈F 满足 𝑃(𝐴) >0 P(A)>0，则条件概率 𝑃( ⋅|𝐴)P(⋅|A) 定义为

𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴 𝐵)𝑃(𝐴)∀𝐵∈F P(B|A)=P(A B)P(A)∀B∈F

可以验证根据上式定义出的 𝑃( ⋅|𝐴)P(⋅|A) 是 (Ω,F)(Ω,F) 上的概率函数．

根据条件概率的定义可以直接推出下面两个等式：

- 概率乘法公式：在概率空间 (Ω,F,𝑃)(Ω,F,P) 中，若 𝑃(𝐴) >0 P(A)>0，则对任意事件 𝐵 B 都有

𝑃(𝐴 𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴)P(A B)=P(A)P(B|A)

- 全概率公式：在概率空间 (Ω,F,𝑃)(Ω,F,P) 中，若一组事件 𝐴 1,⋯,𝐴 𝑛 A 1,⋯,A n 两两不交且和为 Ω Ω，则对任意事件 𝐵 B 都有

𝑃(𝐵)=𝑛∑𝑖=1 𝑃(𝐴 𝑖)𝑃(𝐵|𝐴 𝑖)P(B)=∑i=1 n P(A i)P(B|A i)

### Bayes 公式

一般来说，设可能导致事件 𝐵 B 发生的原因为 𝐴 1,𝐴 2,⋯,𝐴 𝑛 A 1,A 2,⋯,A n，则在 𝑃(𝐴 𝑖)P(A i) 和 𝑃(𝐵|𝐴 𝑖)P(B|A i) 已知时可以通过全概率公式计算事件 𝐵 B 发生的概率．但在很多情况下，我们需要根据「事件 𝐵 B 发生」这一结果反推其各个原因事件的发生概率．于是有

𝑃(𝐴 𝑖|𝐵)=𝑃(𝐴 𝑖 𝐵)𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴 𝑖)𝑃(𝐵|𝐴 𝑖)∑𝑛 𝑗=1 𝑃(𝐴 𝑗)𝑃(𝐵|𝐴 𝑗)P(A i|B)=P(A i B)P(B)=P(A i)P(B|A i)∑j=1 n P(A j)P(B|A j)

上式即 Bayes 公式．

## 事件的独立性

在研究条件概率的过程中，可能会出现 𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐵)P(B|A)=P(B) 的情况．从直观上讲就是事件 𝐵 B 是否发生并不会告诉我们关于事件 𝐴 A 的任何信息，即事件 𝐵 B 与事件 𝐴 A「无关」．于是我们就有了下面的定义

### 定义

若同一概率空间中的事件 𝐴 A,𝐵 B 满足

𝑃(𝐴 𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)P(A B)=P(A)P(B)

则称 𝐴 A,𝐵 B 独立．对于多个事件 𝐴 1,𝐴 2,⋯,𝐴 𝑛 A 1,A 2,⋯,A n，我们称其独立，当且仅当对任意一组事件 {𝐴 𝑖 𝑘 :1 ≤𝑖 1 <𝑖 2 <⋯ <𝑖 𝑘 ≤𝑛}{A i k:1≤i 1<i 2<⋯<i k≤n} 都有

𝑃(𝐴 𝑖 1 𝐴 𝑖 2⋯𝐴 𝑖 𝑟)=𝑟∏𝑘=1 𝑃(𝐴 𝑖 𝑘)P(A i 1 A i 2⋯A i r)=∏k=1 r P(A i k)

### 多个事件的独立性

对于多个事件，一般不能从两两独立推出这些事件独立．考虑以下反例：

有一个正四面体骰子，其中三面被分别涂成红色、绿色、蓝色，另一面则三色皆有．现在扔一次该骰子，令事件 𝐴 A,𝐵 B,𝐶 C 分别表示与桌面接触的一面包含红色、绿色、蓝色．

不难计算 𝑃(𝐴) =𝑃(𝐵) =𝑃(𝐶) =1 2 P(A)=P(B)=P(C)=1 2，而 𝑃(𝐴 𝐵) =𝑃(𝐵 𝐶) =𝑃(𝐶 𝐴) =𝑃(𝐴 𝐵 𝐶) =1 4 P(A B)=P(B C)=P(C A)=P(A B C)=1 4．

显然 𝐴,𝐵,𝐶 A,B,C 两两独立，但由于 𝑃(𝐴 𝐵 𝐶) ≠𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)P(A B C)≠P(A)P(B)P(C)，故 𝐴,𝐵,𝐶 A,B,C 不独立．

> 本页面最近更新：2026/1/7 08:56:54，更新历史
> 发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！
> 本页面贡献者：Enter-tainer, MegaOwIer, Tiphereth-A, aofall, CCXXXI, CoelacanthusHex, Marcythm, Persdre, shuzhouliu, yusancky
> 本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用