跳转至

# 线性映射

研究线性映射是研究线性空间之间的映射．

线性映射可以表示为矩阵的形式，所以在线性映射中矩阵中的大量概念都可以找到对应关系．

## 线性映射与线性变换

设 𝑉 V 和 𝑊 W 是域 𝐹 F 上的两个线性空间，𝑇 T 是 𝑉 V 到 𝑊 W 的一个映射．

如果对于 𝑊 W 中任意的向量 𝑥 x 和 𝑦 y，域 𝐹 F 中任意的标量 𝑘 k 和 𝑙 l，有：

𝑇(𝑘 𝑥+𝑙 𝑦)=𝑘 𝑇 𝑥+𝑙 𝑇 𝑦 T(k x+l y)=k T x+l T y

称 𝑇 T 是 𝑉 V 到 𝑊 W 的一个线性映射．如果 𝑊 =𝑉 W=V，则称 𝑇 T 是 𝑉 V 上的一个线性变换．

例如，恒等变换 𝑇 𝑒 T e 保持空间不变，零变换 𝑇 0 T 0 将空间映射至零空间．

可以记 𝐿(𝑉,𝑊)L(V,W) 为所有 𝑉 V 到 𝑊 W 的线性映射构成的集合．对于全体线性变换 𝐿(𝑉,𝑉)L(V,V)，也记为 𝐿(𝑉)L(V)．

### 性质

- 线性映射将零向量映射到零向量．
- 线性映射保持线性运算形式不变，即，线性运算的线性映射，等于线性映射的线性运算．
- 线性映射保持线性相关性，即，映射前线性相关，映射后也线性相关．

但是线性映射不保持线性无关性．映射前线性无关，映射后不一定线性无关．

## 线性映射的矩阵表示

设 𝑉 V 的维数是 𝑛 n，𝑉 V 的一组基为 𝛼 1,⋯,𝛼 𝑛 α 1,⋯,α n，𝑊 W 的维数是 𝑚 m，𝑊 W 的一组基为 𝛽 1,⋯,𝛽 𝑚 β 1,⋯,β m，𝑇 T 是 𝑉 V 到 𝑊 W 的一个线性映射．

将每个 𝛼 α 经由 𝑇 T 映射后的向量用 𝛽 β 表示：

𝑇 𝛼 𝑗=𝑎 1 𝑗 𝛽 1+⋯+𝑎 𝑚 𝑗 𝛽 𝑚 T α j=a 1 j β 1+⋯+a m j β m

采用矩阵记法：

𝑇(𝛼 1,⋯,𝛼 𝑛)=(𝑇 𝛼 1,⋯,𝑇 𝛼 𝑛)=(𝛽 1,⋯,𝛽 𝑚)𝐴 T(α 1,⋯,α n)=(T α 1,⋯,T α n)=(β 1,⋯,β m)A

称矩阵 𝐴 A 为线性映射 𝑇 T 在这两组基下的矩阵表示．

## 线性映射的核空间与像空间

这里的核空间与像空间是站在线性映射的视角下叙述的．借助矩阵表示可以看出，线性映射的核空间与像空间与矩阵的核空间与像空间是一致的．

设 𝑇 T 是由空间 𝑉 V 到空间 𝑊 W 的线性映射，令：

𝑁(𝑇)={𝑥∈𝑉|𝑇 𝑥=0}N(T)={x∈V|T x=0}𝑅(𝑇)=𝐼 𝑚(𝑇)={𝑦∈𝑊|𝑦=𝑇 𝑥,𝑉 𝑥∈𝑉}R(T)=I m(T)={y∈W|y=T x,V x∈V}

易验证 𝑁(𝑇)N(T) 为 𝑉 V 的子空间，𝑅(𝑇)R(T) 为 𝑊 W 的子空间，称 𝑁(𝑇)N(T) 及 𝑅(𝑇)R(T) 为 𝑉 V 的核空间和像空间，并称 𝑁(𝑇)N(T) 的维数为 𝑇 T 的 零度 或 亏，𝑅(𝑇)R(T) 的维数为 𝑇 T 的 秩．

定理：设 𝑇 T 是由空间 𝑉 V 到空间 𝑊 W 的线性映射，𝑉 V 的维数有限，则 𝑁(𝑇)N(T) 及 𝑅(𝑇)R(T) 均为有限维，且有：

d i m⁡𝑁(𝑇)+d i m⁡𝑅(𝑇)=d i m⁡𝑉 dim⁡N(T)+dim⁡R(T)=dim⁡V

即 𝑇 T 的亏加秩等于其定义域 𝑉 V 的维数．

## 线性变换的矩阵表示

设 𝑉 V 的维数是 𝑛 n，𝑉 V 的一组基为 𝛼 1,⋯,𝛼 𝑛 α 1,⋯,α n，𝑇 T 是 𝑉 V 上的一个线性变换，则有：

𝑇 𝛼 𝑗=𝑎 1 𝑗 𝛼 1+⋯+𝑎 𝑛 𝑗 𝛼 𝑛 T α j=a 1 j α 1+⋯+a n j α n

采用矩阵记法：

𝑇(𝛼 1,⋯,𝛼 𝑛)=(𝑇 𝛼 1,⋯,𝑇 𝛼 𝑛)=(𝛼 1,⋯,𝛼 𝑛)𝐴 T(α 1,⋯,α n)=(T α 1,⋯,T α n)=(α 1,⋯,α n)A

称矩阵 𝐴 A 为线性变换 𝑇 T 在这组基下的矩阵表示．

由空间结构和 𝑇 T 的线性性质，𝑇 T 由 𝑇 𝛼 1,⋯,𝑇 𝛼 𝑛 T α 1,⋯,T α n 完全确定，故由 𝑇 T 唯一确定一个矩阵 𝐴 A．

定理：设 𝑉 V 的维数是 𝑛 n，𝛼 1,⋯,𝛼 𝑛 α 1,⋯,α n 为 𝑉 V 的一组基，任取 𝑛 n 阶方阵 𝐴 A，有且仅有一个从 𝑉 V 到 𝑉 V 的线性变换 𝑇 T，使得 𝑇 T 的矩阵恰好为 𝐴 A．

推论：在 𝐿(𝑉,𝑉)L(V,V) 和全体 𝑛 n 阶方阵之间存在一一对应关系．

例如：零变换对应零矩阵，恒等变换对应单位矩阵．

## 线性变换构成的空间

定理：𝐿(𝑉)L(V) 也可以构成线性空间，引入 𝐿(𝑉)L(V) 中的运算：对于 𝐿(𝑉)L(V) 中任意的 𝑇 1 T 1 与 𝑇 2 T 2，𝑉 V 中任意的 𝑥 x，域 𝐹 F 中任意的 𝑘 k，有：

(𝑇 1+𝑇 2)𝑥=𝑇 1 𝑥+𝑇 2 𝑥(T 1+T 2)x=T 1 x+T 2 x(𝑘 𝑇 1)𝑥=𝑘(𝑇 1 𝑥)(k T 1)x=k(T 1 x)

容易验证 𝐿(𝑉)L(V) 是 𝐹 F 上的一个线性空间，即线性变换空间．

对于 𝐿(𝑉)L(V) 中的线性变换 𝑇 1 T 1 与 𝑇 2 T 2，定义 𝑇 1 T 1 与 𝑇 2 T 2 的乘积 𝑇 1 𝑇 2 T 1 T 2 为：

(𝑇 1 𝑇 2)𝑥=𝑇 2(𝑇 1 𝑥)(T 1 T 2)x=T 2(T 1 x)

可以验证 (𝑇 1 𝑇 2)(T 1 T 2) 也是 𝐿(𝑉)L(V) 中的线性变换，并且线性变换的乘积满足结合律，而不满足交换律，与矩阵的乘积类似．

对于 𝐿(𝑉)L(V) 中的线性变换 𝑇 1 T 1，如果 𝐿(𝑉)L(V) 中的线性变换 𝑇 2 T 2，使得对于 𝑉 V 中任意的向量 𝑥 x，有：

(𝑇 1 𝑇 2)𝑥=𝑇 1(𝑇 2 𝑥)=𝑥(T 1 T 2)x=T 1(T 2 x)=x

则称 𝑇 2 T 2 是 𝑇 1 T 1 的逆变换，记作：

𝑇 2=𝑇−1 1 T 2=T 1−1

且有：

𝑇 1 𝑇 2=𝑇 2 𝑇 1=𝑇 𝑒 T 1 T 2=T 2 T 1=T e

定理：设 𝑉 V 的维数为 𝑛 n，𝛼 1,⋯,𝛼 𝑛 α 1,⋯,α n 为 𝑉 V 的一组基，在这组基下线性变换 𝑇 1 T 1 的矩阵为 𝐴 A，𝑇 2 T 2 的矩阵为 𝐵 B，则：

- 线性变换 𝑇 1 +𝑇 2 T 1+T 2 的矩阵为 𝐴 +𝐵 A+B
- 线性变换的数乘 𝑘 𝑇 1 k T 1 的矩阵为 𝑘 𝐴 k A
- 线性变换的乘积 𝑇 1 𝑇 2 T 1 T 2 的矩阵为 𝐴 𝐵 A B
- 线性变换 𝑇 1 T 1 的逆变换若存在，矩阵为 𝐴−1 A−1

## 坐标

设 𝑛 n 个向量 𝑥 x 是 𝑛 n 维空间 𝑉 V 的一个基，对于 𝑉 V 中任意的向量 𝑦 y，令 𝑦 y 为：

𝑦=𝑎 1 𝑥 1+𝑎 2 𝑥 2+⋯+𝑎 𝑛 𝑥 𝑛=(𝑥 1,𝑥 2,⋯,𝑥 𝑛)⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎 1 𝑎 2⋮𝑎 𝑛⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠y=a 1 x 1+a 2 x 2+⋯+a n x n=(x 1,x 2,⋯,x n)(a 1 a 2⋮a n)

称列向量：

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎 1 𝑎 2⋮𝑎 𝑛⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠(a 1 a 2⋮a n)

为向量 𝑦 y 在基 𝑥 1,𝑥 2,⋯,𝑥 𝑛 x 1,x 2,⋯,x n 下的 坐标．

可见，坐标是由域中的标量构成的列向量，与阿贝尔群中的向量应当进行区分．

## 坐标变换公式

设 𝑉 V 的维数为 𝑛 n，𝐿(𝑉)L(V) 中有变换 𝑇 T，𝑇 T 在基 𝛼 1,⋯,𝛼 𝑛 α 1,⋯,α n 下的矩阵为 𝐴 A．设：

𝜉=(𝛼 1,⋯,𝛼 𝑛)⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥 1 𝑥 2⋮𝑥 𝑛⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ξ=(α 1,⋯,α n)(x 1 x 2⋮x n)

且有：

𝑇 𝜉=𝑇(𝛼 1,⋯,𝛼 𝑛)⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝑦 1 𝑦 2⋮𝑦 𝑛⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠T ξ=T(α 1,⋯,α n)(y 1 y 2⋮y n)

则有：

𝑇 𝜉=𝑇(𝛼 1,⋯,𝛼 𝑛)⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝑦 1 𝑦 2⋮𝑦 𝑛⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=(𝛼 1,⋯,𝛼 𝑛)𝐴⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥 1 𝑥 2⋮𝑥 𝑛⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠T ξ=T(α 1,⋯,α n)(y 1 y 2⋮y n)=(α 1,⋯,α n)A(x 1 x 2⋮x n)

空间 𝑉 V 中的列向量点本质上都是「基乘坐标」的形式．空间 𝑉 V 中的列向量点 𝑥 x，本身用了单位阵 𝐼 I 作为基，即 𝑥 =𝐼 𝑥 x=I x．

只有同一个基，基不动的时候，单纯的线性变换 𝑇 T，就是坐标左乘普通矩阵．

把线性变换 𝑇 T 看成对于空间 𝑉 V 的一个观测滤镜．线性变换 𝑇 T 的作用对象是空间 𝑉 V，将空间 𝑉 V 扭曲了．加了滤镜之后，点本身的位置没有变．

这个定理也说明，对于列向量基的线性变换 𝑇 T，等价于对于基右乘一个过渡矩阵．

于是，在不同的基之间，坐标关系是左乘过渡矩阵的逆矩阵．

## 过渡矩阵

设 𝑛 n 个向量 𝑥 x 与 𝑛 n 个向量 𝑦 y 是空间 𝑉 V 的两组基．对于 1 ≤𝑖 ≤𝑛 1≤i≤n，令每个向量 𝑦 𝑖 y i 在基 𝑥 1,𝑥 2,⋯,𝑥 𝑛 x 1,x 2,⋯,x n 下的坐标为：

𝑦 𝑖=(𝑥 1,𝑥 2,⋯,𝑥 𝑛)⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎 1 𝑖 𝑎 2 𝑖⋮𝑎 𝑛 𝑖⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠y i=(x 1,x 2,⋯,x n)(a 1 i a 2 i⋮a n i)

于是 𝑛 n 个向量 𝑦 y 排成等式左边的矩阵，𝑛 n 个坐标排成等式右边的矩阵 𝐴 A：

(𝑦 1,𝑦 2,⋯,𝑦 𝑛)=(𝑥 1,𝑥 2,⋯,𝑥 𝑛)𝐴(y 1,y 2,⋯,y n)=(x 1,x 2,⋯,x n)A

矩阵 𝐴 A 称为由基 𝑥 1,𝑥 2⋯,𝑥 𝑛 x 1,x 2⋯,x n 到基 𝑦 1,𝑦 2⋯,𝑦 𝑛 y 1,y 2⋯,y n 的 过渡矩阵，也称为变换矩阵．

显然过渡矩阵可逆．对于上式，由基 𝑦 1,𝑦 2⋯,𝑦 𝑛 y 1,y 2⋯,y n 到基 𝑥 1,𝑥 2⋯,𝑥 𝑛 x 1,x 2⋯,x n 的过渡矩阵为 𝐴−1 A−1．

可见，过渡矩阵是由域中的标量构成的矩阵，并非阿贝尔群中的向量排成的矩阵，应当予以区分．

设 𝑛 n 个向量 𝑥 x 与 𝑛 n 个向量 𝑦 y 是空间 𝑉 V 的两组基．对于空间 𝑉 V 中的同一个向量 𝑧 z，有：

𝑧=(𝑥 1,𝑥 2,⋯,𝑥 𝑛)⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝜉 1 𝜉 2⋮𝜉 𝑛⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=(𝑦 1,𝑦 2⋯,𝑦 𝑛)⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝜂 1 𝜂 2⋮𝜂 𝑛⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠z=(x 1,x 2,⋯,x n)(ξ 1 ξ 2⋮ξ n)=(y 1,y 2⋯,y n)(η 1 η 2⋮η n)

代入上文的

(𝑦 1,𝑦 2⋯,𝑦 𝑛)=(𝑥 1,𝑥 2⋯,𝑥 𝑛)𝐴(y 1,y 2⋯,y n)=(x 1,x 2⋯,x n)A

由唯一性，得到：

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝜉 1 𝜉 2⋮𝜉 𝑛⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=𝐴⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝜂 1 𝜂 2⋮𝜂 𝑛⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠(ξ 1 ξ 2⋮ξ n)=A(η 1 η 2⋮η n)

或者

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝜂 1 𝜂 2⋮𝜂 𝑛⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=𝐴−1⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝜉 1 𝜉 2⋮𝜉 𝑛⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠(η 1 η 2⋮η n)=A−1(ξ 1 ξ 2⋮ξ n)

这是纯粹坐标之间的变换，坐标变换公式均在标量域中．由于前文做了区分，线性空间与阿贝尔群中的向量是「抽象的向量」，而坐标与过渡矩阵的元素均在标量域中，视为「具体的向量」，两种向量应当视为「不同的东西」．

矩阵可以对整个空间，即全体坐标进行变换，列向量 𝑥 x 作为坐标遍布整个空间．

单位矩阵 𝐼 I 由单位向量构成．矩阵 𝐴 A 会将单位矩阵 𝐼 I 变换到矩阵 𝐴 A 的每个列向量，即将单位向量变换到矩阵 𝐴 A 的每个列向量．因此左乘矩阵 𝐴 A，也可以视为将空间做了这样的变换．

向量左乘矩阵，也可以视为坐标左乘向量组．用坐标的观点看待就是：

𝐼 𝑦=𝑋 𝑎 I y=X a

同一个列向量 𝑦 y，在「正常」的空间，单位矩阵 𝐼 I 代表的空间下，坐标为 𝑦 y，在变换后新的空间里，坐标将记为 𝑎 a．这样一来，矩阵 𝑋 X 不仅是正常空间下的一组基，也是从向量组 𝐼 I 到向量组 𝑋 X 的过渡矩阵．

线性变换 𝑇 T 会将一个基映射为另一个基，于是坐标也被映射为另一个坐标．

如果将基 𝛼 α 映射到 𝛽 β 对应的线性变换 𝑇 T 的过渡矩阵是 𝐴 A，那么对应的基矩阵就有 𝛽 =𝛼 𝐴 β=α A．

于是坐标的关系恰好反过来．假设线性变换 𝑇 T 映射后的坐标是 𝑏 b，即加滤镜后观察到坐标 𝑏 b，于是点在 𝑉 V 的表示就是 𝛽 𝑏 β b．还原的办法就是用过渡矩阵，把点在 𝑉 V 的表示写成 𝛼 𝐴 𝑏 α A b．于是坐标变换为左乘过渡矩阵的逆矩阵的看法就明显了．

## 线性变换与矩阵相似

在空间 𝑉 V 中的一个线性变换 𝑇 T 对于空间 𝑉 V 的基 𝛼 α 的关系：

线性变换 𝑇 T 作用于基 𝛼 α，将基 𝛼 α 映射到了 𝑇(𝛼)T(α)，相当于在基 𝛼 α 右乘一个 𝐴 A，即 𝑇(𝛼) =𝛼 𝐴 T(α)=α A．

矩阵相似考虑的问题是：同一个线性变换 𝑇 T，在基 𝛽 β 的空间 𝑉 V 中描述为矩阵 𝐵 B，在基 𝛼 α 的空间 𝑉 V 中描述为矩阵 𝐴 A．

如果过渡矩阵为 𝐶 C，即 𝛽 =𝛼 𝐶 β=α C，那么两个描述 𝐵 B 和 𝐴 A 之间有怎样的联系．

由于是同一个变换 𝑇 T，可以发现一个事实，变换前后的过渡矩阵关系始终成立，即：

𝑇(𝛽)=𝑇(𝛼)𝐶=𝛼 𝐴 𝐶 T(β)=T(α)C=α A C

线性变换 𝑇 T 在基 𝛽 β 视角下仍旧为右乘，基 𝛽 β 转化到基 𝛼 α 再右乘一个 𝐶 C，变换前后保持过渡矩阵 𝐶 C 的关系：

𝑇(𝛽)=𝛽 𝐵=𝛼 𝐶 𝐵 T(β)=β B=α C B

于是问题得到解决：

𝐵=𝐶−1 𝐴 𝐶 B=C−1 A C

定理：设 𝐿(𝑉)L(V) 中有变换 𝑇 T，则 𝑇 T 在不同基下的矩阵 相似．

对于方阵 𝐴 A 和方阵 𝐵 B，如果存在可逆矩阵 𝐶 C 使得 𝐵 =𝐶−1 𝐴 𝐶 B=C−1 A C，则 𝐴 A 和 𝐵 B 相似．

矩阵相似保持秩不变，因此矩阵相似可以推出矩阵等价．但是，等价的两个矩阵未必相似．

由于矩阵相似与形状密切相关，因此矩阵相似和向量组等价、方程组同解之间没有关系．

回过头来，矩阵相似的解释就是 4 个等式：𝛽 =𝛼 𝐶 β=α C、𝑇(𝛼) =𝛼 𝐴 T(α)=α A、𝑇(𝛽) =𝛽 𝐵 T(β)=β B、𝑇(𝛽) =𝑇(𝛼)𝐶 T(β)=T(α)C．

## 参考资料

- 【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集 P13 09 - 基变换

> 本页面最近更新：2026/1/7 08:56:54，更新历史
> 发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！
> 本页面贡献者：Tiphereth-A, aofall, CCXXXI, CoelacanthusHex, Great-designer, Larry0716, Marcythm, Persdre, shuzhouliu
> 本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用