## 55.1 曲面与空间曲线
##### **定义**： #空间曲面
> <font color="#ccc1d9">描述：</font> $$F(x,y,z)=0\quad\text{或 }z=f(x,y)$$

**举例**：$x+y+z=1$
+ 图示：
	+ ![[Pasted image 20240523230111.png]]
##### **定义**： #空间曲线
> <font color="#ccc1d9">描述：</font> $$\text{i)参数式:}\quad\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}\quad\text{ii)一般式:}\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$$

**补充**：为什么空间曲面只要一个方程确定，而空间曲线要两个
+ 核心：
	+ 一个方程减少一个自由度；
	+ 曲面有两个自由度，而曲线只有一个；
	+ 因此空间曲线的一般式是关于 `xyz` 的两个方程；

### 55.2 常见曲面
**曲面一**：`旋转面` `->` 一条平面曲线绕平面上一条直线旋转
+ 设 $L$ 是 $yoz$ 平面上一条曲线，其方程是：$\begin{cases}f({y},z)=0\\x=0\end{cases}$
+ （1）$L\text{ 绕 }(y)\text{轴旋转所得旋转面方程为}\quad f(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})=0.$
+ （2）$L绕 z 轴旋转所得旋转面方程为：$

**曲面二**：柱面 `->` 平行于定直线并沿定曲线移动的直线 L 形成的轨迹;
+ $准线为\Gamma:\begin{cases}f(x,y)=0\\z=0\end{cases}，母线平行于z轴的柱面方程为f(x,y)=0$ 
+ $准线为\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0&\end{cases}，母线平行于z轴的柱面方程为H(x,y)=0$
+ 图示：锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$  在柱面 $x^{2}+y^{2}\le2x$ 的区域上：
	+ 锥面：
		+ ![[Pasted image 20240523231234.png]]
	+ 柱面：
		+ ![[Pasted image 20240523231044.png]]
	+ 三维：
		+ ![[Pasted image 20240523231108.png]]


**曲面三**：二次曲面
+ $$\text{椭圆锥面 }\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2;$$
+ $$\text{椭球面}\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1;$$
+ (3)  单叶双曲面 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$$
+ (4)  双叶双曲面 $$\frac {x^{2}}{a^{2}}- \frac {y^{2}}{b^{2}}- \frac {z^{2}}{c^{2}}= 1$$
+ (5)  椭圆抛物面 $$\text{椭圆抛物面}\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z;$$
**曲面四**：空间曲面投影
+ $q曲线\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}在xoy面上的投影曲线方程为：\begin{cases}H(x,y)=0\\z=0\end{cases}$

### 55.3 常考题型

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### 题型： #建立柱面和旋转面方程
#### PART 1：解题方法

#### PART 2：典型例题

#### PART 3：知识点复盘