## 22.1 惯性定理 
**概念**：惯性定理
+ 无论选取什么样的可逆线性变换，将二次型化成标准形或规范形，其正项个数 `p`，负项个数 `q` 都是不变的；
+ 其中 `p` 称之为正惯性指数；
+ 其中 `q` 称之为负惯性指数；
+ 且：$若二次型的秩为r，则r=p+g，可逆线性变换不改变正、负惯性指数$

**概念**：两个二次型 (或实对称矩阵)合同的充要条件 
+ 概念： 
	+ 两个二次型 (或实对称矩阵)合同的充要条件是有相同的正、负惯性指数, 或有相同的秩及正 (或负)惯性指数，或有相同的正、负特征值个数
+ 正交矩阵下：
	+  两个矩阵有相同的正、负特征值的个数；

## 22.1 两种二次型方法区别
**总结**：两种方法的区别
+ 对于函数 $f=x^TAx$ 有两种变换：
+ （1）配方法；
	+ 可逆线性变换：$x=Cy$；
	+ 对 C 的唯一要求，就是 C 可逆；
	+ 通过 $x=Cy$ ，得到合同对角阵；
+ （2）正交变换法
	+ 也是要求可逆；
	+ 这里面也是设置 $x=Qy$，但 Q 不仅仅可逆，而且 Q 的逆还等 Q 转置；
	+ 所以：$f$ 通过 $x=Qy$ 得到的结果是 $Q^TAQ=Q^{-1}AQ=\Lambda$
+ 区别：相似和合同 
	+ 当 `A` 是对称阵时；
	+ 配方和正交都是可逆的；
	+ 但配方法不一定满足逆等于转置；
	+ 所以 $x=Cy$ 里面的 `C` 不一定是特征向量；
	+ 正交配方法下更特殊，`C` 里面都是特征向量，$\Lambda$ 里面都是特征值； 
+ 注意：相同点 
	+ 它们的正负关系指数是相同的 `->` 无论用哪种方法，得到的系数的正负的个数都是一样的；

**概念**：合同矩阵与正负关系指数
+ 概念： 
	+ 并且合同变换当中，不变量也是正负关系指数；
	+ 所以 `A` 合同于 `B` 的充要条件，就是 $p_A=p_B$ 且 $q_A=q_B$
+ 对称：
	+ 并且对称的条件下，一定合同；
	+ 因为两个矩阵对称下，相似时特征值完全一样 `->` 完全一样的正负关系指数；
	+ 反过来，**合同不一定相似**；
+ 结论： 
	+ 1. 相似一定合同；
	+ 2. 合同不一定相似；