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title: Lecture 15：闭区间上连续函数的性质
tags:
  - 数学
categories: 
date: 2024-03-11
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## 15.1 基本概念
### 15.1.1 有界性
##### **定理**： #有界性
> <font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：</font></font>若 $\text{若 f(x) 在 [a,b]上连续,则 f(x) 在 [a,b]上有界。}$

**解释**
+ 在有限闭区间上的连续值一定有最大值和最小值；

### 15.1.2 最值与介值
##### **定理**： #最值定理
> <font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：</font></font>若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必有最大值和最小值；

##### **定理**： #介值定理
> <font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：</font></font>若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\neq f(b)$,则对 $f(a)$ 与 $f(b)$ 中 $\text{之间任一数}\mathbf{C},\text{ 至少存在一个 }\xi\in(a,b),\text{ 使得 }f(\xi){=}C.$

### 15.1.3 零点
##### **定理**： #零点定理
> <font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：</font></font>若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\cdot f(b)<0$ ,则必 $\exists\xi\in(a,b)$ 使得 $f(\xi)=0.$

