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title: Lecture 12：函数的连续性
tags:
  - 数学
categories: 
date: 2024-03-11
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## 12.1 考察内容
+ 内容
	+ 1. 连续性的概念；
	+ 2. 间断点及其分类；
	+ 3. 连续性的运算与性质；
	+ 4. 闭区间上连续函数的性质；
+ 题型
	+ 题型一：讨论函数连续性及间断点的类型；
	+ 题型二：有关闭区间上连续函数性质的证明题；

## 12.2 连续的概念
##### **定义**： #连续性
> <font color="#ccc1d9">描述：</font> 
> 定义 1：$\text{若 }\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0，则称y=f(x)在x_0点连续$ 
> 定义 2：设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个邻域内有定义，如果当 $x\to x_0$ 时，函数 $y=f(x)$ 的极限值存在，且等于 $x_{0}$ 处的函数值 $f(x_0)$ , 即 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, 则称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续.

**解释**
+ 等价形式：$\text{若 }\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\text{ 则称 }y=f(x)\text{ 在点 }x_0\text{ 处连续}.$
+ 左右连续：
	+ 1. 左连续： $\lim_{x\to x^-_0}f(x)=f(x_0)$ 
	+ 2. 右连续： $\lim_{x\to x^+_0}f(x)=f(x_0)$ 
+ $f(x)$ 连续的充分必要条件：$f(x)$ **左连续且右连续**，**左右连续相等**；

**内连续与外连续**
+ 内连续：在  $(a,b)$ 中每一点都连续；
+ 外连续：在 $[a,b]$ 中每一点都连续，并且 a 点右连续，b 点左连续；

**区间内连续** 
+ 一个函数在区间内连续 = 区间上所有点都连续 = **所有的点的左右极限存在并相等，并且等于这一点的函数值**；

### 题型： #讨论函数的连续性及间断点的类型
#### PART 1：解题方法
+ 讨论函数的连续性时，需要描述清楚，在哪些点不连续，因为什么所以在其他区间上连续；

#### PART 2：典型例题
**例题**：$\text{已知 }f(x)=\begin{cases}(\cos x)^{1/x^2},x\neq0,\\a,&x=0&\end{cases}$，再 x=0 处连续，则求a；
+ 分析
	+ 因为在 x=0 处连续，因此这个点的极限值存在且相 等；
+ 解析
	+ $\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}(nx)^{\frac12}=\lim_{x\to0}[1+(ax-1)]^{\frac1{x^2}}=e^{-\frac12}=f(0)=0,$
+ 题型：#

**例题**：$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1+x}{1+x^{{2n}}}$，讨论函数的间断点；
+ 分析
+ 解析
	+ 首先分段，得到：$f(x)=\begin{cases}1+x&|x|<1\\0&|x|>1\\1&x=1\\0&x=-1\end{cases}$
	+  0 点连续，1 点不连续；
	+ 所以：存在间断点 x=1；
+ 题型：#

