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title: Lecture 13：间断点及其分类
tags:
  - 数学
  - 间断点
categories: 
date: 2024-03-11
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## 13.1 间断点及其分类
### 13.1.1 定义
##### **定义**： #间断点
> <font color="#ccc1d9">描述：</font>若 f (x)在 $x_0$ 的某去心邻域有定义，但在 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0为f(x)$ 的间断点；

**解释**
+ 1.  F (x) 在 $x_0$ 的某去心邻域需要有定义；
+ 2. 满足第一条的前提下，在 $x_0$ 不连续，则为间断点；

**间断点的分类**
+ 1. 第一类间断点：左, 右极限均存在；
	+ 可去间断点：且左极限=右极限；
	+ 跳跃间断点：左极限不等于右极限；
+ 2. 第二类间断点：左、右极限中**至少有**一个不存在；
	+ 无穷间断点：比如 $1/x$ 中，当 x=0 时；
	+ 振荡间断点：比如在 x 趋向于 0 时，$sin1/x$ 为振荡间断点；
	+ 无穷和震荡是第二类当中常见的两种，但是不一定只有这两种，也可能既不是无穷、也不是震荡；

**常见的需要分左右极限求极限的情况**
+ 1. 分段函数分界点；
+ 2. `E` 无穷：$e^{\infty}$；
+ 3. `Arctan` 无穷；
 
### 13.1.2 例题
**例题**：$\text{设函数 }f(x)=\frac{\ln|x|}{|x-1|}\sin x\text{,则 }f(x)$ 有？
+ 分析
	+ 1. 先找没有定义的点；
		+ x=1
		+ x=0
	+ 2. 判断类型
		+ 左右极限如果有区别，就分左右极限；
		+ 左右极限如果没有区别，就不用分左右极限；
+ 解析
	+ 当 x=0 时，$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}x\ln|x|=\lim_{x\to0}\frac{\ln|x|}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x}}=0$，所以为可去间断点；
	+ 当 x=1 时，$\lim_{x\to1}f(x)=\sin|\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{|x-1|}$，因为 Inx ~ x-1，所以等价代换，所以得到极限当中的部分为 $\frac{x-1}{|x-1|}$，所以需要分为 x 趋向于 1 正和 1 负，所以为跳跃间断点；
+ 题型： #间断点

